eine allzu banale Konvergenzfrage

Ich setze voraus, dass 1/epsilon nie kleiner 0 werden kann. Aber eigentlich kann ich das doch nicht.

Du setzt nur voraus, daε > 0, und daraus folgerst du 1/ε > 0.

freakC++

Also darf ich vorraussetzen, dass 1 geteilt durch irgendwas positives immer größer 0 ist?

LG, freakC++

Naja. Sei x > 0, 1/x < 0 => 1 < 0.

Jockelx

freakC++ schrieb:

1.) Sei $\epsilon$ eine hinreichend kleine Zahl größer 0.

Hinreichend klein wofür?
Der Beweis sollte anfangen mit
Sei $\epsilon$ > 0 beliebig, aber fest...

freakC++

Gut! Angenommen, ich fange so meinen Beweis an. Dann werde ich aber wieder an die Stelle kommen, an der ich dann vorraussetzen muss, dass die Zahl nicht kleiner also 0 werden kann (1 / epsilon).

LG, freakC++

Jockelx

Ist das noch nicht geklärt, dass 1/eps nicht kleiner 0 werden kann, wenn eps > 0 ist?

freakC++

Das weiß ich ja gerade nicht

Wenn das klar wäre, dann wäre der Beweis nämlich hier beendet, oder?

Jockelx

Das ist aber doch offensichtlich. woaukib hat es dir bewiesen.
Du kannst es dir aus so klar machen:

eps * (1/eps) = 1

Ist eps > 0 so folgt aus dem aus der Grundschule bekannten "Plus mal Minus = Minus", dass (1/eps) nicht "Minus" sein kann, da eps und "1" offenbar "Plus" sind.

Dein Beweis meint das richtige, ist aber falsch aufgeschrieben:

"Sei $n_{0} \in \mathbb N$ . Dann gilt für alle $n \geq n_{0}: n > \frac{1}{\epsilon}$ ."

Das gilt ja nicht für ein beliebiges $n_{0}$ , sondern das hängt ja gerade vom gewählten eps ab.
Das es immer ein $n_{0} > 1/{\epsilon}$ gibt, ist durch den ganz am Anfang erwähnten Archimedes gesichert.

Bashar

Jockelx schrieb:

Ist eps > 0 so folgt aus dem aus der Grundschule bekannten "Plus mal Minus = Minus", dass (1/eps) nicht "Minus" sein kann, da eps und "1" offenbar "Plus" sind.

Wenn man das richtig beweisen will, muss man natürlich richtig tief beim Urschleim, irgendwo in der Gegend von „Die reellen Zahlen sind ein total geordneter Körper”, anfangen. Das hat man aber typischerweise lange hinter sich, wenn man sich über Konvergenz den Kopf zerbricht. Deshalb: 1/ε > 0 bedarf an der Stelle keines Beweises.

Aber es ist doch immerhin etwas, dass sich freakC++ nicht blind auf solche "Selbstverständlichkeiten" verlässt (denn gerade das täuscht einen oft genug)