Aufgabenstellung verstehen

Oder man liest den Thread genau und sieht, dass Mario Sandler einen sehr feinen Tipp gibt. Der sieht genauso hübsch aus wie "Ax=0 lösen und 0en multiplizieren".

@umdrehen: Eigentlich ganz einfach, oder?

Mario Sandler

http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[1%2C1%2C1]%2C[4%2C2%2C3]%2C[-4%2C-2%2C-3]]^3

SeppJ

Mario Sandler schrieb:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[1%2C1%2C1]%2C[4%2C2%2C3]%2C[-4%2C-2%2C-3]]^3

Ach, da habe ich einen dummen Fehler gemacht. Du hast natürlich recht. Der Fehler war so dumm, dass ich lieber mal meinen peinlichen Beitrag gelöscht habe.

freakC++

Hallo zusammen,

könnte man es nicht so machen (A sei die Matrix, x ein Eigenvektor, lambda ein Eigenwert)

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

Ich habe das jetzt mal ausgerechnet. Die Eigenwerte lauten 0, 1 -,1 und die Eigenvektoren lauten analog dazu

$g:\vec{x} = t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$h:\vec{x} = t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$i:\vec{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dann müsste nun folgendes funktionieren:

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x = (-1)^{123} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dies ergäbe gerade $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Müsste stimmen, oder?

@Mario Sandler: Wie Du auf deine Lösung kommst, würde mich auch interessieren

LG, freakC++

Bashar

umdrehen schrieb:

@Bashar: Die Diagonalmatrix hat auf der Diagonalen ihre Eigenwerte. Also müsste sie so aussehen.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Kann man da jetzt irgendwie ablesen, was A^123 ist?

Nö. Ich hab ja nicht gesagt, irgendeine Diagonalmatrix hinschreiben, sondern „Diagonalisieren.“ Das heißt eine Zerlegung $A = P^{-1} D P$ mit P invertierbar und D Diagonalmatrix (deren Diagonalelemente die Eigenwerte sind) bilden. Dann ist $A^{123} = P^{-1} D^{123} P$ , und das kann man dann einfach ausrechnen, da man einfach nur die Diagonalelemente jedes für sich potenzieren muss (was bei 0, 1 und -1 keine größeren Schwierigkeiten bereiten sollte.)

@Mario Sandler: Das ist ja super :). Aber wie bist Du darauf gekommen? Auch mit der Diagonalmatrix?

Einfach ausprobiert, würde ich sagen.

edit: Ich möchte nochmal dazusagen, dass ich die Formulierung für sehr unglücklich halte. Gemeint ist sicher, dass man es für beliebige v angeben soll. Nicht, dass man sich einen Eigenvektor aussuchen kann.

freakC++ schrieb:

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x$

Warum sollte das richtig sein?
Es gilt ja nicht A^{123} = L^{123}

Bashar

IstDasRichtig? schrieb:

freakC++ schrieb:

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x$

Warum sollte das richtig sein?

$A^{123}x = A^{122}(Ax) = A^{122}(\lambda x) = \lambda (A^{122}x) = \ldots = \lambda^{123} x$

freakC++

IstDasRichtig? schrieb:

freakC++ schrieb:

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x$

Warum sollte das richtig sein?
Es gilt ja nicht A^{123} = L^{123}

Ich nutze hier ja aus, dass es sich um Eigenwerte / Eigenvektoren handelt. Daher gilt die Rechnung von Bashar. Anderfalls funktionierte das natürlich nicht

LG, freakC++

knivil

einen beliebigen Vektor