4. Gradient einer Größe in Umfangsrichtung bilden

Gradient einer Größe in Umfangsrichtung bilden

  • P

    Hallo,

    ich habe eine Frage und hoffe, dass man hier auf die Sprünge hilft. Das Problem ist vermutlich recht einfach. Ich möchte gerne den Gradienten einer Größe p in Umfangrichtung theta bilden.

    Ziel ist also: Bestimme
    Y = \cfrac{\partial p}{\partial\theta}
    mit
    θ=atan2(y,z)\theta = atan2(y, z)

    Nun kann ich in meinem Programm diesen Gradienten nicht direkt bilden und muss ihn daher mit Hilfe von Gradienten von y und z bestimmen. Wie geht das? Wie leitet man das her?

    Besten Dank im Voraus

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  • Versteh ich das richtig: Du hast die partiellen Ableitungen von p nach y und nach z und möchtest nun die Richtungsableitung entlang eines bestimmten Vektors v\mathrm{\mathbf v} bestimmen? Falls ja, sollte die sich doch einfach als entsprechende Linearkombination der partiellen Ableitungen ergeben:

    ∇p=(∂p∂y∂p∂z)\nabla p = \begin{pmatrix}\frac{\partial p}{\partial y} \\ \frac{\partial p}{\partial z}\end{pmatrix}

    ∂p∂v=∇p⋅v\frac{\partial p}{\partial \mathrm{\mathbf v}} = \nabla p \cdot \mathrm{\mathbf v}

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  • P

    Ich suche die Ableitung der Größe p in Umfangsrichtung, was bei mir die Koordinate \theta ist. Ich möchte/muss den Gradient allerdings auf Basis von kartesischen Koordinaten bestimmen und ich weiß nicht, wie ich dp/dtheta in eine Funktion von Ableitungen in y und z-Richtung umschreibe....

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  • P

    Es wäre nett, wenn Du mir das also posten würdest, damit ich es nachvollziehen kann.

    Danke

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  • Ich bin kein Mathematiker, aber imo fehlt da Information; p muss eine Funktion in zwei Koordinaten sein. Mit der Ableitung nach theta allein ist da nichts anzufangen. Wenn p in Polarkoordinaten gegeben ist, dann hast du mit theta und r trotzdem zwei Koordinaten...

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  • P

    p ist ebenfalls eine Funktion von y und z. Stimmt, das vergaß ich zu sagen...

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  • M

    de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_Kettenregel

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  • P

    das hilft mir leider noch nicht weiter....

    Ich brauche wirklich nur den anteil in umfangsrichtung - also nicht die radiale komponente...

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  • Das macht aber keinen Sinn, du hast eine zweidimensionale Funktion, zumindest im Allgemeinen wird die "radiale Komponente" also nicht von r unabhängig sein...

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  • M

    Phil270307 schrieb:

    das hilft mir leider noch nicht weiter....

    Ich brauche wirklich nur den anteil in umfangsrichtung - also nicht die radiale komponente...

    Schreibe y und z als Funktionen y(r, theta), z(r, theta) in Abhängigkeit vom Radius r und Winkel theta. Dann ist p(y, z) = p(y(r, theta), z(r, theta)) eine Funktion in Abhängigkeit von r und theta. Die kannst du mit der Kettenregel ableiten.

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  • K

    Phil270307 schrieb:

    Ziel ist also: Bestimme
    Y = \cfrac{\partial p}{\partial\theta}
    mit
    θ=atan2(y,z)\theta = atan2(y, z)

    dot schrieb:

    Versteh ich das richtig: Du hast die partiellen Ableitungen von p nach y und nach z und möchtest nun die Richtungsableitung entlang eines bestimmten Vektors v\mathrm{\mathbf v} bestimmen? Falls ja, sollte die sich doch einfach als entsprechende Linearkombination der partiellen Ableitungen ergeben:

    ∇p=(∂p∂y∂p∂z)\nabla p = \begin{pmatrix}\frac{\partial p}{\partial y} \\ \frac{\partial p}{\partial z}\end{pmatrix}

    ∂p∂v=∇p⋅v\frac{\partial p}{\partial \mathrm{\mathbf v}} = \nabla p \cdot \mathrm{\mathbf v}

    👍

    v=(∂y∂θ∂z∂θ)=(z−y)\mathbf v = \begin{pmatrix} \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}z \\ -y\end{pmatrix}

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