4. Basis von Ableitung drehen

Basis von Ableitung drehen

  • P

    Hallo,

    ich brauche eine kleine Hilfestellung bei folgendem Problem:
    Gegeben sind zwei Basen mit den Richtungen e_x, e_y und die andere e_s, e_n. Die letztere Basis ist gegenüber der ersten um den Winkel phi gedreht.

    Ferner kenne ich die Ableitung df/dx und möchte diese gerne als Summe von Ableitungen in e_s und e_n Richtung ausdrücken.
    Wie geht diese Transformation, Rotation?

    Danke vorab.

    0
  • S

    v∈R2,v=(v⋅e_s)e_s+(v⋅e_n)e_nv \in \mathbb{R}^2, \quad v = (v\cdot e\_s)e\_s + (v\cdot e\_n)e\_n

    Reicht das oder brauchst noch mehr Anregungen?

    0
  • P

    Ehrlich gesagt bringt mich das nicht weiter. Ich habe in der Ubahn noch weiter nach gedacht und bin noch selbst zu folgendem gekommen:

    Beispiel:

    \vec{e}\_x\left(\cfrac{c\_x}{R}\cfrac{\partial c\_x}{\partial x} + \cfrac{c\_x}{R}\cfrac{\partial c_x}{\partial r} + .... \right) = 0

    Die Ausgangsbasis besteht aus den Vektoren e⃗_x,e⃗_r\vec{e}\_x, \vec{e}\_r.
    Das neue Koordinatensystem soll daher e⃗_s,e⃗_n\vec{e}\_s, \vec{e}\_n sein.

    Es gilt also:

    \vec{e}\_x = \vec{e}\_n \cdot\sin(\phi) + \vec{e}_s \cdot\cos(\phi)\\ \vec{e}\_r = \vec{e}\_n \cdot\cos(\phi) - \vec{e}_s \cdot\cos(\phi)

    Und für die Ableitung gilt entsprechend:

    \cfrac{\partial c\_x}{\partial x} = \cfrac{\partial c\_x}{\partial n} \cfrac{\partial n}{\partial x} = \cfrac{\partial c_x}{\partial n}\cfrac{1}{\sin(\phi)}\\ \cfrac{\partial c\_x}{\partial r} = \cfrac{\partial c\_x}{\partial n} \cfrac{\partial n}{\partial r} = \cfrac{\partial c_x}{\partial n}\cfrac{1}{\cos(\phi)}

    Wenn man dies zusammenwirft, erhält man:
    \left(\vec{e}\_n \cdot\sin(\phi) + \vec{e}\_s \cdot\cos(\phi)\right) \cdot \left[\cfrac{c\_x}{R} \cfrac{\partial c\_x}{\partial n}\cfrac{1}{\sin(\phi)} + \cfrac{\partial c_x}{\partial n}\cfrac{1}{\cos(\phi)} + ... \right]

    Ist mein Ansatz soweit richtig? Ich müsste jetzt dies für alle Terme tun, um anschließend alle Ausdrücke in n bzw. in s-Richtung zu sortieren.

    Ich frage mich allerdings auch noch, wie ich entscheide ob ich beispielsweise eine Ableitung n- oder in s-Richtung umformuliere mit Hilfe der Kettenregel. Also den Ausdruck
    \cfrac{\partial c_x}{\partial x}
    kann ich natürlich in
    \cfrac{\partial c\_x}{\partial x} = \cfrac{\partial c\_x}{\partial n} \cfrac{\partial n}{\partial x}
    oder in
    \cfrac{\partial c\_x}{\partial x} = \cfrac{\partial c\_x}{\partial s} \cfrac{\partial s}{\partial x}
    umfandeln. Wonach entscheide ich, welchen Weg ich gehe?

    0
  • P

    wobei, und das sehe ich gerade erst, man natürlich auch den Zusammenhang

    \cfrac{\partial c_x}{\partial n} \cfrac{\partial n}{\partial x} = \cfrac{\partial c_x}{\partial s} \cfrac{\partial s}{\partial x}

    ausnutzen kann, bzw.:

    \cfrac{\partial c_x}{\partial n} = \cfrac{\partial c_x}{\partial s} \tan(\phi)

    Nachdem man sortiert hat.... Macht das Sinn, was ich hier schreibe?

    0
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