4. Wurzelterme vereinfachen

Wurzelterme vereinfachen

  • I

    Hallo, ich hab hier gerade Probleme mit Wurzelgesetzen..

    Folgender Term

    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})

    soll vereinfacht werden.
    Ich krieg das überhaupt nicht hin, ich schreib die Brüche als Potenz und komm dann nicht weiter..

    Ich hab hier als Ergebnis

    32xx3\frac{3}{2}x\sqrt{\frac{x}{3}}

    bzw.

    4x273\sqrt{\frac{4x}{27}^3}

    stehen, aber ich weiß weder ob das stimmt noch wieso das zweite gleich dem ersten ist.

    Kann mir bitte jemand sagen, was ich zuerst mal machen sollte und welche Gesetze man hier anwenden kann?

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  • K

    Statt "Wurzel x" kannst du "x hoch einhalb" schreiben. Wende dann die Potenzgesetze an. Wenn du dir bei einem Schritt unsicher bist, zeig' doch einfach mal, wie du auf das Ergebnis kommst.

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  • I

    Ja, versuch ich ja, aber

    Incocnito schrieb:

    Ich krieg das überhaupt nicht hin, ich schreib die Brüche als Potenz und komm dann nicht weiter..

    Also das müsste dann doch so aussehen

    −(x3)32+x(x3)12-(\frac{x}{3})^\frac{3}{2}+x(\frac{x}{3})^\frac{1}{2}

    Und wie gehts jetzt weiter?

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  • ?

    Versuche mal den ersten Term umzuwandeln. Statt

    (x3)3\sqrt{(\frac{x}{3})^3}

    kannst du ja auch folgendes:

    x2⋅x32⋅3\sqrt{\frac{x^2\cdot x }{3^2\cdot 3}}

    oder:
    (x3)2⋅(x3)\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}

    schreiben. Und jetzt mal weitermachen.

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  • B

    Falls x≥0x\geq 0:
    x=x22=(x2)12x = x^{\frac22} = (x^2)^{\frac12}
    zusammenfassen ➡ x(x3)12=(x2⋅x3)12x\left ( \frac{x}3 \right )^{\frac12} = \left ( x^2 \cdot \frac{x}3 \right )^\frac12

    x<0x<0 zur Übung ...

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  • I

    Sorry, ich versteh immer noch gar nichts 😞

    Bei

    KasF schrieb:

    (x3)2⋅(x3)\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}

    würde ich die Wurzel ziehen, dann in Potenzform schreiben, und miteinander multiplizieren und es wäre wieder

    x332\frac{x}{3}^\frac{3}{2} da..

    Und bei

    Bashar schrieb:

    (x2⋅x3)12\left ( x^2 \cdot \frac{x}3 \right )^\frac12

    kann man doch gar nichts mehr machen oder?
    Ich komm einfach nicht auf 23xx3\frac{2}{3}x\sqrt{\frac{x}{3}}

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  • ?

    Ziehe bitte mal die Wurzel und schreib es auf, ohne die Wurzel in Potenzform zu bringen. Da haste du dann nämlich -1/3 Birnen + 1 Birne. Siehst du es schon?:-)

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  • I

    Ich habe keine Ahnung was du meinst. Welche Wurzel ziehen und wo kommt dann -1/3 raus? 😕

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  • B

    Incocnito schrieb:

    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})

    =−(x3)2(x3)+x(x3)= -\sqrt{(\frac{x}{3})^2 (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =−(x3)(x3)+x(x3)= -(\frac{x}{3})\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =(−(x3)+x)(x3)= (-(\frac{x}{3})+x)\sqrt{(\frac{x}{3})}
    =23x(x3)= \frac{2}{3}x \sqrt{(\frac{x}{3})}

    0
  • ?

    Also,

    -\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\sqrt{(\frac{x}{3})^2\cdot(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\sqrt{(\frac{x}{3})^2}\cdot\sqrt{(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\ -\frac{x}{3}\cdot\sqrt{(\frac{x}{3})}+x\sqrt(\frac{x}{3}) \\

    Jetzt marginal verschönern:

    −13x(x3)+33x(x3)-\frac{1}{3}x\sqrt{(\frac{x}{3})}+\frac{3}{3}x\sqrt(\frac{x}{3})

    Da sind jetzt deine "Da haste du dann nämlich -1/3 Birnen + 1 Birne".

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  • K

    Incocnito schrieb:

    Ich habe keine Ahnung was du meinst.

    Ist dir folgendes klar?

    (x3)3=(x3)2⋅(x3)=(x3)2⋅(x3)\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^3} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{x}{3}\right)} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)}

    Letztere Schritt nutzt im Wesentlichen das Potenzgesetz

    (a⋅b)c=ac⋅bc\left(a \cdot b \right)^c = a^c \cdot b^c

    mit c=1/2 aus. Und

    (x3)2=∣x∣3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \frac{\left|x\right|}{3}

    sollte auch klar sein. Damit gilt dann

    (x3)3=∣x∣3⋅x3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^3} = \frac{\left|x\right|}{3} \cdot \sqrt{\frac{x}{3}}

    Wenn man sich dann die rechte Wurzel anguckt, ist auch klar, dass x nicht negativ sein kann. Deswegen sind die Betragsstriche eher überflüssig. Komplexe Zahlen habe ich hier ignoriert.

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  • ?

    −(x3)3+xx3-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt{\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x2⋅x3=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x2⋅x3=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{x^2\cdot\frac{x}{3}}
    =−(x3)3+x33=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{\frac{x^3}{3}}
    =−(x3)3+9x327=-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+\sqrt{\frac{9x^3}{27}}
    =−(x327)+(9x327)=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+\sqrt(\frac{9x^3}{27})
    =−(x327)+9⋅x327=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =−(x327)+3x327=-\sqrt{(\frac{x^3}{27})}+3\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =2x327=2\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =4⋅x327=\sqrt{4}\cdot\sqrt{\frac{x^3}{27}}
    =4⋅x327=\sqrt{4\cdot\frac{x^3}{27}}
    =4x327=\sqrt{\frac{4x^3}{27}}

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  • I

    Danke Leute, jetzt hab ich's auch gecheckt. 🙂

    @Bashar:
    Ich hab nicht wirklich verstanden, was du von Zeile 2 zu 3 gemacht hast. Kannst du das nochmal bitte erläutern?

    @Klugscheißer:
    Wie bist du auf 9x327\sqrt{\frac{9x^3}{27}} gekommen?

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  • ?

    Zähler und Nenner mit 9 multiplizieren

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  • B

    Incocnito schrieb:

    @Bashar:
    Ich hab nicht wirklich verstanden, was du von Zeile 2 zu 3 gemacht hast. Kannst du das nochmal bitte erläutern?

    Gerne.

    Incocnito schrieb:

    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})

    { Anwendung des Potenzgesetzes an+m=anama^{n+m} = a^n a^m für a=x/3,n=2,m=1a = x/3, n = 2, m = 1 }
    =−(x3)2(x3)+x(x3)= -\sqrt{(\frac{x}{3})^2 (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Potenzgesetzes (ab)r=arbr(ab)^r = a^r b^r für a=(x/3)2,b=x/3,r=1/2a=(x/3)^2, b=x/3, r=1/2, unter Berücksichtigung von a=a12\sqrt{a} = a^{\frac12} }
    =−((x3)2)12(x3)+x(x3)= -((\frac{x}{3})^2)^{\frac12}\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Potenzgesetzes (ar)s=ars(a^r)^s = a^{rs} für a=x/3,r=2,s=1/2a=x/3,r=2, s=1/2 }
    =−(x3)(x3)+x(x3)= -(\frac{x}{3})\sqrt{ (\frac{x}{3}) }+x\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Anwendung des Distributivgesetzes (aka Ausklammern) }
    =(−(x3)+x)(x3)= (-(\frac{x}{3})+x)\sqrt{(\frac{x}{3})}
    { Nochmal Distributivgesetz }
    =23x(x3)= \frac{2}{3}x \sqrt{(\frac{x}{3})}

    Einige von den Potenzgesetzen gelten nur für a>=0, aber das ist hier gegeben, weil sonst die Wurzel im Ausgangsterm nicht definiert wäre.

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  • S

    Ich bin nach etwas herumgerechne auf
    −(x3)3+x(x3)-\sqrt{(\frac{x}{3})^3}+x\sqrt(\frac{x}{3})
    =−x1,531,5+x1,530,5= -\frac{x^{1,5}}{3^{1,5}} + \frac{x^{1,5}}{3^{0,5}}
    =x1,5∗330,5∗3−x1,531,5= \frac{x^{1,5} * 3}{3^{0,5} * 3} - \frac{x^{1,5}}{3^{1,5}}
    =3x1,5−x1,531,5= \frac{3x^{1,5} - x^{1,5}}{3^{1,5}}
    =2(x3)1,5= 2 (\frac{x}{3})^{1,5}

    Findet den Fehler, dürfte nicht allzu schwer sein. Ich verrechne mich dauernd.

    Edit: Stop, das ist richtig... ist dieselbe Lösung wie von Klugscheißer 🤡 :duck-und-weg:

    Es gilt ja 27=33=31,5\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{1,5}
    und
    4x3=2∗x3=2∗x1,5\sqrt{4x^3} = 2 * \sqrt{x^3} = 2 * x^{1,5}

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