4. Wie notiert man 1/unendlich=0 richtig?

Wie notiert man 1/unendlich=0 richtig?

  • ?

    Wenn ich einen Grenzwert berechnen muss und den limes in die einzelnen Terme reinziehe, wie gehe ich dann mit unendlich um? Vereinfachtes Beispiel:

    limx→∞11+x=limx→∞1(limx→∞1)+(limx→∞x)=11+∞=1∞=0\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac 1{1+x} = \frac{\lim_{x\to\infty}1}{\left(\lim_{x\to\infty}1\right)+\left({\lim_{x\to\infty}x}\right)}=\frac 1{1+\infty}=\frac 1\infty = 0

    Hier verwende ich 1+∞=∞ und 1/∞=0, aber ich habe gelernt, dass ∞ nur ein Symbol ist, mit dem man nicht rechnen soll.

    Wie würde man das formal korrekt aufschreiben?

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  • V

    simlup schrieb:

    Wenn ich einen Grenzwert berechnen muss und den limes in die einzelnen Terme reinziehe, wie gehe ich dann mit unendlich um? Vereinfachtes Beispiel:

    limx→∞11+x=limx→∞1(limx→∞1)+(limx→∞x)=11+∞=1∞=0\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac 1{1+x} = \frac{\lim_{x\to\infty}1}{\left(\lim_{x\to\infty}1\right)+\left({\lim_{x\to\infty}x}\right)}=\frac 1{1+\infty}=\frac 1\infty = 0

    Hier verwende ich 1+∞=∞ und 1/∞=0, aber ich habe gelernt, dass ∞ nur ein Symbol ist, mit dem man nicht rechnen soll.

    Wie würde man das formal korrekt aufschreiben?

    Denke, man sollte Deine Funktion zwischen g(x)=0 und h(x)=1/x einschnüren.
    http://de.wikipedia.org/wiki/Sandwichkriterium
    Dass 1/x gegen 0 strebt, wird nicht weiter gezeigt, das weiß man halt.

    So, wie Du mit ∞ gerechnet hast, mache ich das auch oft. Aber heimlich. Aufschreiben tue ich es nicht.

    Deine Funktion könnte man auch vorher umschreiben, indem man Zähler und Nenner durch x teilt. Dann kommt auch kein ∞ mehr als Zwischenergebnis vor.

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  • B

    simlup schrieb:

    limx→∞11+x=limx→∞1(limx→∞1)+(limx→∞x)=11+∞=1∞=0\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac 1{1+x} = \frac{\lim_{x\to\infty}1}{\left(\lim_{x\to\infty}1\right)+\left({\lim_{x\to\infty}x}\right)}=\frac 1{1+\infty}=\frac 1\infty = 0

    Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch, da nicht alle Limites auf der rechten Seite existieren. Man kann keinen Limes grundsätzlich nicht reinziehen, man kann ihn nur rausziehen.

    Korrekt wäre z.B. den Satz zu benutzen, dass der Quotient aus einer konstanten und einer unbeschränkten Folge gegen 0 konvergiert.

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  • ?

    Bashar schrieb:

    Man kann keinen Limes grundsätzlich nicht reinziehen, man kann ihn nur rausziehen.

    Rausziehen ist nicht immer erlaubt: sign(limx→+∞1x)=sign(0)=0≠1=limx→+∞sign(1x)sign(\lim_{x\to+\infty}\frac 1x)=sign(0)=0\neq 1=lim_{x\to+\infty} sign(\frac 1x)

    Andererseits ist limx→x_0f(x)=f(x_0)\lim_{x\to x\_0}f(x)=f\left(x\_0\right) genau die Definition der Stetigkeit und damit ist raus- und reinziehen für alle stetigen Funktionen erlaubt.

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  • B

    grundsätzlichschon schrieb:

    Andererseits ist limx→x_0f(x)=f(x_0)\lim_{x\to x\_0}f(x)=f\left(x\_0\right) genau die Definition der Stetigkeit und damit ist raus- und reinziehen für alle stetigen Funktionen erlaubt.

    In der Praxis (solcher Übungsaufgaben) bringt einem das aber nichts.

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  • ?

    simlup schrieb:

    Wenn ich einen Grenzwert berechnen muss und den limes in die einzelnen Terme reinziehe, wie gehe ich dann mit unendlich um? Vereinfachtes Beispiel:

    limx→∞11+x=limx→∞1(limx→∞1)+(limx→∞x)=11+∞=1∞=0\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac 1{1+x} = \frac{\lim_{x\to\infty}1}{\left(\lim_{x\to\infty}1\right)+\left({\lim_{x\to\infty}x}\right)}=\frac 1{1+\infty}=\frac 1\infty = 0

    Hier verwende ich 1+∞=∞ und 1/∞=0, aber ich habe gelernt, dass ∞ nur ein Symbol ist, mit dem man nicht rechnen soll.

    Wie würde man das formal korrekt aufschreiben?

    0 < 1/(x+1) < 1/x für alle x > 0
    Ferner lim 1/x = 0.
    Daher lim 1/(x+1) = 0.

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  • ?

    http://www.c-plusplus.net/forum/p2033570#2033570
    Hatte wir das nicht schon einaml??? oder gar ja mermahlms?? 0/0=? odar gar ja 0/x=?

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  • I

    Infinity ist kein Nummer, so 1/∞ ist kein valide Mathematik Satz. Wenn infinity ist ein Nummer, dann 1/0=∞ und 2/0=∞ so 1=2. Aber dass ist nicht richtig so infinity ist kein Nummer.

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  • ?

    Auch dann wäre die Aussage nicht richtig, da 1/0 nicht definiert ist bzw. nicht existiert.

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  • I

    In Infinitesimalrechnung ist x/0=±∞.

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  • V

    IAmAPerson schrieb:

    In Infinitesimalrechnung ist x/0=±∞.

    Nö.

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  • I

    volkard schrieb:

    IAmAPerson schrieb:

    In Infinitesimalrechnung ist x/0=±∞.

    Nö.

    Ja. http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero unter "In Calculus"

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  • V

    IAmAPerson schrieb:

    volkard schrieb:

    IAmAPerson schrieb:

    In Infinitesimalrechnung ist x/0=±∞.

    Nö.

    Ja. http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero unter "In Calculus"

    Nö. Da ist nicht x/0=±∞. Da steht noch ein schreckliches lim dabei. Ohne dem tuts nicht.

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  • I

    volkard schrieb:

    IAmAPerson schrieb:

    volkard schrieb:

    IAmAPerson schrieb:

    In Infinitesimalrechnung ist x/0=±∞.

    Nö.

    Ja. http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero unter "In Calculus"

    Nö. Da ist nicht x/0=±∞. Da steht noch ein schreckliches lim dabei. Ohne dem tuts nicht.

    Hier in America wo ich wohne sagen wir "x/0=±∞".

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  • B

    Argument by authority :p

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  • V

    IAmAPerson schrieb:

    Hier in America wo ich wohne sagen wir "x/0=±∞".

    Sagt man bei uns auf der Straße auch.
    Aber findest Du das ohne lim auch im amerikanischen Mathe-Buch?

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