Differenzierbarkeit

[shisha]

Wie kann ich zeigen, dass eine Funktion ins alle Richtungen differenzierbar ist?
Und dann dennoch nicht total diffbar ist?

[Prof84]

Meinst Du den?
https://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
oder den?
https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Operator

[Jodocus]

@ Prof: Das hat überhaupt nichts mit dem Laplace- oder Nabla-Operator zu tun.

@ shisha: Das kommt auf die Funktion an. In der Regel setzt du einfach die Grenzwert-Definition für Richtungsableitungen in allgemeine Richtung für einen beliebigen Punkt ein und schaust, ob sie konvergiert. Um zu zeigen, dass die Funktion dann nicht total diffbar ist (was sie aber durchaus sein kann), kannst du z.B. eine der Methoden aus http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Gegenbeispiele benutzen.

[cpp_Jungspund]

Hi

Es gilt einfach, dass wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind, dann ist die reelle Abbildung total differenzierbar (und wird dargestellt durch die Jacobi Matrix (und die Richtungsableitungen sind parallel zur Standardbasis)).

(Sollte die Abbildung komplex sein, müssen die Cauchy-Riemann Gleichungen erfüllt sein, aber ich nehme an du meinst reelle Abbildungen)

Gruß
cpp_Jungspund

[shisha]

Ja.zumeist reell.

Das Kriterium das du genann hast ist mir auch bekannt, kommt aber nie in Klausuren,. Immer stückweise definierte Funktionen bevorzugt mit stetig fortsetzbaren Fkt.

[[u]]

cpp_Jungspund schrieb:

Es gilt einfach, dass wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind, dann ist die reelle Abbildung total differenzierbar (und wird dargestellt durch die Jacobi Matrix (und die Richtungsableitungen sind parallel zur Standardbasis)).

Nein, siehe Beispiel "Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar" im Link von Jodocus.

[nachgerechnet]

cpp_Jungspund schrieb:

Es gilt einfach, dass wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind, dann ist die reelle Abbildung total differenzierbar (und wird dargestellt durch die Jacobi Matrix (und die Richtungsableitungen sind parallel zur Standardbasis)).

Nein, siehe Beispiel "Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar" im Link von Jodocus.

Doch, genau die zitierte Aussage findest du im selben Artikel auch. Bei dem Beispiel gilt nicht, dass alle partiellen Ableitungen stetig sind.

[[u]]

nachgerechnet schrieb:

cpp_Jungspund schrieb:

Es gilt einfach, dass wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind, dann ist die reelle Abbildung total differenzierbar (und wird dargestellt durch die Jacobi Matrix (und die Richtungsableitungen sind parallel zur Standardbasis)).

Nein, siehe Beispiel "Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar" im Link von Jodocus.

Doch, genau die zitierte Aussage findest du im selben Artikel auch. Bei dem Beispiel gilt nicht, dass alle partiellen Ableitungen stetig sind.

Die partiellen Ableitungen sind dort =0 und das ist eindeutig stetig. Die Aussage oben vom Artikel ist aber falsch.

Nehmen wir die englische Wikipedia stimmts wieder:

<a href= schrieb:

Differentiability in higher dimensions">If all the partial derivatives of a function all exist and are continuous in a neighborhood of a point, then the function must be differentiable at that point, and it is of class C¹.

Da sind auch noch bessere Beispiele wieso die Aussage von cpp_Jungspund falsch ist und es den unterstrichenen Teil braucht.

[nachgerechnet]

Es geht aber schon um diese Funktion, ja?

$f_5(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy^3}{x^2+y^4} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

Weil die z.B. in y-Richtung nicht stetig diff'bar ist in (0,0).

Und was ist in diesem Fall der entscheidende Unterschied zwischen

wenn alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind, dann ist die reelle Abbildung total differenzierbar

und

If all the partial derivatives of a function all exist and are continuous in a neighborhood of a point, then the function must be differentiable at that point, and it is of class C¹.

?

[[u]]

nachgerechnet schrieb:

Es geht aber schon um diese Funktion, ja?

$f_5(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy^3}{x^2+y^4} & (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

Weil die z.B. in y-Richtung nicht stetig diff'bar ist in (0,0).

Wer sagt, dass sie nicht diffbar ist?
$\lim\limits_{h\to 0,h\neq 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}h=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{0}{h^4}}{h}=0$

Und der Unterschied ist der Text im [u][/u].

[nachgerechnet]

Wer sagt, dass sie nicht diffbar ist?

Niemand. Ich behaupte, sie ist in y-Richtung nicht stetig partiell diff'bar.

Und der Unterschied ist der Text im [u][/u].

Wenn die Funktion stetig ist, ist sie auch in jeder Umgebung jedes Punktes stetig, also worauf willst du hinaus?

[Prof84]

Jodocus schrieb:

@ Prof: Das hat überhaupt nichts mit dem Laplace- oder Nabla-Operator zu tun.

Doch!

[Jodocus]

Achso? Dann erkläre mal, wie der Laplace-Operator (der u.a. erst mal zweimalige Differenzierbarkeit voraussetzt, die der TE aber garnicht braucht) hier irgendwie helfen soll.

[C14]

Hmm, kennt jemand ein Beispiel für eine Funktion, die folgende Bedingungen erfüllt:
- in einer Umgebung von x partiell diffbar
- partielle Ableitungen in x stetig (nicht in Umgebung von x)
- in x nicht total diffbar

[Prof84]

Jodocus schrieb:

Achso? Dann erkläre mal, wie der Laplace-Operator (der u.a. erst mal zweimalige Differenzierbarkeit voraussetzt, die der TE aber garnicht braucht) hier irgendwie helfen soll.

Das hat er selbst widerlegt!
https://www.c-plusplus.net/forum/333854
https://de.wikipedia.org/wiki/Swift-Hohenberg-Gleichung

[Jodocus]

Prof84 schrieb:

Jodocus schrieb:

Achso? Dann erkläre mal, wie der Laplace-Operator (der u.a. erst mal zweimalige Differenzierbarkeit voraussetzt, die der TE aber garnicht braucht) hier irgendwie helfen soll.

Das hat er selbst widerlegt!
https://www.c-plusplus.net/forum/333854
https://de.wikipedia.org/wiki/Swift-Hohenberg-Gleichung

Was hat das jetzt damit zu tun? Die ursprüngliche Frage dieses Threads bezieht sich in keinster Weise auf den Laplace-Operator.

[Prof84]

shisha schrieb:

Wie kann ich zeigen, dass eine Funktion ins alle Richtungen differenzierbar ist?
Und dann dennoch nicht total diffbar ist?

https://de.wikipedia.org/wiki/Totale_Differenzierbarkeit

Der Laplace-Operator $\Delta$ ist für eine skalare Funktion allgemein definiert als:
\Delta \Phi = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,\Phi\right) = \nabla^2 \Phi = \nabla \cdot \nabla \Phi

Du stellst multidmensionale differenzielle Mannigfaltigkeit i.d.R mit $\nabla$ und $\Delta$ dar und das war meine Frage.
Also nerv mich nicht.