Fragen zu Konfidenzintervallen

titan99_

Hallo,

bin am versuchen Konfidenzintervalle besser zu verstehen und zu berechnen.

Aus Wikipedia habe ich die Verteilung von Mittelwerten der Stichprobengrösse $n$ normalverteilter Zufallsvariablen: $\bar X \sim N \left( \mu, \frac{ \sigma}{\sqrt{n} } \right)$
Aus math.stackexchange.com die Verteilung von Mittelwerten der Stichprobengösse $n$ von exponentialverteilten Zufallsvariablen: $\bar X \sim \Gamma(n, n\lambda)$

Mit boost Math/Statistical Distributions habe ich ein 95% Konfidenzintervall oder 95% Zentrales Schwankungsintervall berechnet und anhand eines Beispiels (normalverteilt und gegebene bekannte Varianz) $n=10$ , $\bar x=10$ , $\sigma=2$ (Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 3, Seite 524) verglichen und kam zum gleichen Ergebnis (Beispiel aus Buch ist auf drei Nachkommastellen gerundet).

interval normal: 8.76041 11.2396
length_a: 1.23959 lenght_b: 1.23959 lenght: 2.47918

Bild

Dann noch die Ausgabe für Exponentialverteilung $\lambda=0.25$ und der Vergleich mit der Näherung mit dem Zentralen Grenzwertsatz.

Generate Samples ... done
Calculate SampleFunctionResults ... done
Generate R script ...

interval normal: 1.52082 6.47918
length_a: 2.47918 lenght_b: 2.47918 lenght: 4.95836

interval gamma: 1.91816 6.83392
length_a: 2.08184 lenght_b: 2.83392 lenght: 4.91577

difference a: 0.397336 difference b: 0.354741 difference: 0.0425944

Write to file samples.csv ...done
done
Run R script
null device
          1
open png file

Bild (Stil "center location")
Bild (Stil 2)

Wollte Fragen, ob jemand Bücher oder Links kennt für eine Liste mit Verteilungen von Stichprobenfunktionen und deren Herleitungen. Nehme an, dass die Summe von Zufallvariablen mit der Faltung berechnet werden kann. Die anderen Operatoren fehlen mir und auch Operatoren zwischen Zufallsvariable und Variable. Also der Schritt der Division mit der nicht-Zufallsvariable $n$ (oder Multiplikation mit $\frac{1}{n}$ ) verstehe ich nicht.

Oder ganz allgemein gefragt, kennt jemand Bücher zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (z.B. ohne Lookup-Table für die Quantilsfunktion, dafür z.B. mit Fehlerfunktion).

Habe hoffentlich alles richtig geschrieben , Korrekturen sind sehr willkommen.

Edit 1: Weiss denn jemand ob es eine englische Wikipediaseite vom Zentralen Schwankungsintervall gibt und wie dieses auf Englisch heisst?

Edit 2: Beim zweiten Bild ist mir gerade aufgefallen, dass die Schätzfunktion bzw. Stichprobenfunktion arithmetischer Mittelwert als Modalwert (der ~~häufigste~~ wahrscheinlichste Wert) nicht den wahren oder tatsächlichen Wert ( $\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0.25}=4)$ hat, wenn ich mich nicht täusche (auto gammamode = mode(gammadist);ergibt 3.6). Ist das etwas ähnliches wie bei der sog. korrigierten bzw. "unkorrigierten" Stichprobenvarianz? Kann man Schätzfunktionen als Teilmenge von Stichprobenfunktionen auffassen?

Edit 3: Dann ist mir noch aufgefallen, dass die Länge des Konfidenzintervalls (in den Beispielen) nicht nur von der Stichprobengrösse abhängig ist, sondern auch von der Varianz bzw. Standardabweichung.

titan99_

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titan99_

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also ich hab hier 2 bücher in meinem regal stehen: schwarze, grundlagen der statistik, band 1 + 2. damit solltest du klar kommen.

titan99_

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nein nur die dichtefunktion, erwartungswert und varianz, ein hinweis auf die approximationsmöglichkeit und ein paar übungsaufgaben. willst du rechnen oder mathematik betreiben? edit: wenn du wirklich die herleitung brauchst, frag doch mal die professoren an den universitäten.

titan99_

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also eigentlich würde ich da einfach mal anrufen. bei uns an der fh war das immer so, dass man sich da am besten einen termin geholt hat. aber grundsätzlich ist das ja irgendwie deren job, wissenschaftliche fragen zu beantworten.

titan99_

Fand die Quelle wieder. jbstatistics

Again this i a very rough guideline. We can easily construct scenarios in wich a sample size of a hundred trillion is not nearly enough to give us approximate normality, ...

Eine Stichprobengrösse von hundert Trillionen $100'000'000'000'000$ kann zu wenig sein, um eine Approximation mit der Normalverteilung zu ermöglichen!

Leider ist kein Beispiel einer solchen Verteilung im Beitrag beschrieben.

Und offen ist auch immer noch die Frage wegen der Berechnung von Konfidenzintervallen. Also wenn auch die Verteilung der Stichprobenfunktion von Mittelwerten bekannt ist, kann man dadurch ja noch nicht das Konfidenzintervall berechnen, wenn die Varianz geschätzt werden muss. Wenn die Varianz wie bei der Exponentialverteilung keine völlig unabhängige Zufallsvariable ist, anhand welcher Verteilung kann das ~~exakte~~ Konfidenzintervall konstruiert werden?

titan99_

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*john 0

@titan99_ sagte in Fragen zu Konfidenzintervallen:

Hallo Forum,

Was für Werte versuchst Du da u verarbeiten? Sind das Werte aus physikalischen Modelle? D.h. es wurden Messwerte von physikalischen Versuchen erfasst und nun versuchst Du eine Statistik darüber zu machen?

rustyoldguy

Bei den Werten aus den Buch wurde mit der Excel-Funktion CHIINV gearbeitet:
Beispiel
((CHIINV(0,005;(Stichprobenumfang)-1))/(Stichprobenumfang-1))^0,5

Vorab:
Innerhalb der Grenzen von Gu und Go befindet sich der Teil welcher innerhalb der Warngrenzen und Eingriffsgrenzen sind.
Außerhalb befindet sich also der "Murks", wenn du zum Beispiel Wellen kontollieren würdest.
Im deutschsprachigen Raum werden 95/99 Prozent, im englischsprachigen Raum 95,44/ 99,97 für EG und WG (Rinne Seite 337) verwendet. Also Vorsicht beim Einkauf von Teilen im Ausland.
Im oberen Beispiel bezeichnet 0.005 die 0.5 Prozent, die außerhalb einer Grenze Gu oder Go liegt. Ein Zahl von 1 würde 100 Prozent angeben. Auf einer Seite von µ. Entweder darunter oder darüber. Das heißt, vom Mittelwert µ aus jeweils etwa 2,5758293035489 aus gerechnet befinden sich die Eingriffsgrenzen. Je etwa 1,95996398454005 die Warngrenzen.
Zuerst sucht man sich also zur Zahl 0.005 den dazugehörigen Abstand zu µ in sigma heraus. Ausgehend davon, das
die Standardabweichung 1 sigma ist.
Mit
NORMINV(Zahl;Mittelwert;Standardabweichung);
Beispiel:
Für die Berechnung des Abstandes von Go oder Gu zur Mittellinie µ hier folgendes Beispiel:
2,5758293035489 = NORMINV(0,995; 0; 1)
Nun teilt man die Standardabweichung (hier 1 angeben) durch die Wurzel von n und multipliziert das Ergebnis mit dem von Norminv:
Folgendes ist ein Ersatz für die Excel-Funktion KONFIDENZ();
EE = Ergebnis_der_Konfidenz=NORMINV(0,995; 0; 1) *(1/WURZEL(Stichprobenumfang))

Bei www.dev-communiy.de wurde ein kleines Beispiel in c++ rein gestellt. Die Funktionen können aber auch für c
verwendet werden.
Beim Mittelwert der Standardabweichung wird der Faktor zur Berechnung der Lage der Mittellinie so angegeben:
=WURZEL(2/(n-1))*((EXP(GAMMALN(n/2)))/(EXP(GAMMALN((n-1)/2))));
Wobei n die Größe der Strichprobe (Freiheitsgrade) angibt.
Aber Vorsicht bei der Umsetzung mit c oder c++ denn gcc bietet zwei Versionen an gamma() und tgamma()
Vielleicht kannst du dir irgendwo Bücher von der DGQ (Deutsche Gesellschaft für Qualität) grabschen.

Damit kannst
du dich dann selber foltern.

Bei www.libreoffice-forum.de gibt es was für selbiges Programm. Kannst ja auch mal rein schauen.

titan99_

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titan99_

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