T
Hallo, habe folgende Frage
Wenn man eine Zufallsvariable XXX, z.B.
X∼N(μ,σ)X \sim N (\mu, \sigma)
X∼N(μ,σ)
mit nnn multiplizieren möchte
Y=X⋅nY = X \cdot n
Y=X⋅n
wie ist dann YYY verteilt?
Zudem wollte ich noch fragen, ob man das so schreiben kann und ob es noch andere Schreibweisen gibt?
Edit 1: Für die Normalverteilung habe ich Lösung (per Zufall) gefunden (siehe Ethem Alpaydın, Maschinelles Lernen, Seite 431): Y=aX+bY = aX+bY=aX+b ergibt Y∼N(aμ+b,a2σ2)Y \sim N(a \mu + b, a^2 \sigma^2)Y∼N(aμ+b,a2σ2). Ich nehme an wenn b=0b=0b=0 ergibt sich Y∼N(aμ,a2σ2)Y \sim N(a \mu, a^2 \sigma^2)Y∼N(aμ,a2σ2). Bloss hat es keine anschauliche Herleitung und ich suche ja eigentlich eine allgemeine (auch für andere Verteilungen) anwendbare Lösung.
Edit 2: Bekomme es nicht auf die Reihe. Also in der normalen Algebra stimmt glaube ich xy=x⋅1y\frac {x} {y} = x \cdot \frac {1} {y}yx=x⋅y1 ("Zusammenhang" Division und Multiplikation) und auch z.B. 3⋅x=x+x+x3 \cdot x = x + x + x3⋅x=x+x+x (also um den "Zusammenhang" zwischen Addition und Multiplikation zu veranschaulichen). Also 3x=3⋅1x=1x+1x+1x\frac {3} {x} = 3 \cdot \frac {1} {x} = \frac {1} {x} + \frac {1} {x} + \frac {1} {x}x3=3⋅x1=x1+x1+x1. Um den arithmetischen Mittelwert (x¯=x1+x2+...+xnn\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}x¯=nx1+x2+...+xn) zu berechnen, ist doch auch x¯=x1n+x2n+...n+xnn\bar{x}=\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n}+\frac{...}{n}+\frac{x_n}{n}x¯=nx1+nx2+n...+nxn möglich. Aber wie jetzt das auf Zufallsvariablen anwenden
Edit: Stimmt das so? Also würde es vielleicht etwas bringen zuerst die nnn Zufallsvariablen XXX mit nnn zu dividieren bzw. mit 1n\frac{1}{n}n1 zu multiplizieren und dann die Zufallsvariablen nnn-mal addieren. Oder aber doch zuerst die Zufallsvariablen nnn mal addieren und dann mit der Variable nnn zu dividieren bzw. mit 1n\frac{1}{n}n1 multiplizieren.
X¯=X1⋅1n+...+Xn⋅1n\bar{X} = X_1 \cdot \frac{1}{n} + ... + X_n \cdot \frac{1}{n}
X¯=X1⋅n1+...+Xn⋅n1
X¯=X1+...+Xnn\bar{X} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}
X¯=nX1+...+Xn
Kennt jemand Bücher zu diesem Thema, die anschaulich und verständlich sind und die auch detailliert und doch auch allgemein sind und mit denen gute Erfahrungen gemacht wurden?
Edit: Fand dazu beim CAS Mathematica TransformedDistribution. Aber dann weiss ich nicht so recht, was vor sich geht.
Zudem habe ich gerade ein Durcheinander, da die Normalverteilung manchmal mit Varianz σ2\sigma^2σ2 und manchmal mit Standardabweichung σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}σ=√σ2 "parametrisiert" wird.