Zufallsvariable mit Variable multiplizieren

titan99_

Hallo, habe folgende Frage

Wenn man eine Zufallsvariable $X$ , z.B.

$X \sim N (\mu, \sigma)$

mit $n$ multiplizieren möchte

$Y = X \cdot n$

wie ist dann $Y$ verteilt?

Zudem wollte ich noch fragen, ob man das so schreiben kann und ob es noch andere Schreibweisen gibt?

Edit 1: Für die Normalverteilung habe ich Lösung (per Zufall) gefunden (siehe Ethem Alpaydın, Maschinelles Lernen, Seite 431): $Y = aX+b$ ergibt $Y \sim N(a \mu + b, a^2 \sigma^2)$ . Ich nehme an wenn $b=0$ ergibt sich $Y \sim N(a \mu, a^2 \sigma^2)$ . Bloss hat es keine anschauliche Herleitung und ich suche ja eigentlich eine allgemeine (auch für andere Verteilungen) anwendbare Lösung.

Edit 2: Bekomme es nicht auf die Reihe. Also in der normalen Algebra stimmt glaube ich $\frac {x} {y} = x \cdot \frac {1} {y}$ ("Zusammenhang" Division und Multiplikation) und auch z.B. $3 \cdot x = x + x + x$ (also um den "Zusammenhang" zwischen Addition und Multiplikation zu veranschaulichen). Also $\frac {3} {x} = 3 \cdot \frac {1} {x} = \frac {1} {x} + \frac {1} {x} + \frac {1} {x}$ . Um den arithmetischen Mittelwert ( $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ ) zu berechnen, ist doch auch $\bar{x}=\frac{x_1}{n}+\frac{x_2}{n}+\frac{...}{n}+\frac{x_n}{n}$ möglich. Aber wie jetzt das auf Zufallsvariablen anwenden

Edit: Stimmt das so? Also würde es vielleicht etwas bringen zuerst die $n$ Zufallsvariablen $X$ mit $n$ zu dividieren bzw. mit $\frac{1}{n}$ zu multiplizieren und dann die Zufallsvariablen $n$ -mal addieren. Oder aber doch zuerst die Zufallsvariablen $n$ mal addieren und dann mit der Variable $n$ zu dividieren bzw. mit $\frac{1}{n}$ multiplizieren.

$\bar{X} = X_1 \cdot \frac{1}{n} + ... + X_n \cdot \frac{1}{n}$

$\bar{X} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}$

Kennt jemand Bücher zu diesem Thema, die anschaulich und verständlich sind und die auch detailliert und doch auch allgemein sind und mit denen gute Erfahrungen gemacht wurden?

Edit: Fand dazu beim CAS Mathematica TransformedDistribution. Aber dann weiss ich nicht so recht, was vor sich geht.

Zudem habe ich gerade ein Durcheinander, da die Normalverteilung manchmal mit Varianz $\sigma^2$ und manchmal mit Standardabweichung $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ "parametrisiert" wird.