Gleichung

[ChrisM]

Hi,

mal wieder was für euch...

Warum sind folgende Terme gleich? (x ist ein Winkel, ich find hier leider kein Gammazeichen)

sqrt(2 - 2cos(x)) = sin(x / 2) * 2

Beide Gleichungen sind durch unterschiedliche Rechenwege entstanden, aus den gleichen Voraussetzungen.

Mein Lehrer meinte, dass ich mal nach "Additionstheorem" suchen solle, aber da finde ich nichts, was ich verstehe...

ChrisM

[LiquidAcid]

sin(x/2) = +/- sqrt((1-cos(x))/2)

Vielleicht hilft dir das weiter. Ich hab jetzt ein wenig rumgerechnet und habe bei sin(x/2) = 1 - cos(x) aufgehört. Danach muss mal wohl irgendeine Umformung vornehmen, oder das ganze stimmt überhaupt nicht.

cya
liquid

[Abbadon]

das kann garnicht gleich sein
weil sin(x/2)*2 auch negativ sein kann sqrt(...) aber nicht

[lustig]

Das stimmt schon, in meinem Formelbuch steht:
sin²(α/2)=(1-cos(α))/2

aber herleiten oder begründen kann ich es nicht.

[ChrisM]

Hi,

warum ist das nur so kompliziert... ich hätte gar nicht gedacht, dass man durch normale Klasse 10-Aufgaben auf so verschiedene (ja, sie sind gleich, aber die Gleichheit ist schwierig zu zeigen!) Ergebnisse kommen kann.

ChrisM

[Abbadon]

wenn man die Additionstheoreme kennt, dann kann mans doch ganz einfach herleiten (man muss aber den betrag vom sinus nehmen!)

[ChrisM]

Hi,

ich kenn sie aber nicht

ChrisM

[asmodis]

Additionstheoreme:

$ \begin{eqnarray} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\\ \cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \sin(\alpha-\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)\\ \cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray}

(3) und (4) folgen aus (1) und (2) durch einsetzen von -beta.

(4)-(2) ergibt:

$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2 \sin(\alpha)\sin(\beta)$

mit alpha=beta=x/2:

$ \begin{eqnarray} \cos(\frac{x}{2}-\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) &=& 2 \sin(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2})\\ \cos(0) - \cos(x) &=& 2 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ 1 - \cos(x) &=& 2 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ 2 - 2\cos(x) &=& 4 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ \pm\sqrt{2 - 2\cos(x)} &=& 2 \sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}

[paulerdös]

Und wie werden diese Theoreme hergeleitet????

[Daniel E.]

Man kann den Sinus oder den Cosinus als Exponentialfunktion schreiben; die Additionstheoreme dafür sind recht handlich.

Es geht wohl auch, indem man sich den Einheitskreis hinmalt und dann mit entsprechenden geometrischen Beziehungen argumentiert.

[absolute_beginner]

Bei mir in der Schule tauchte dies beim Thema Komplexrechnung auf... ist schon etwas länger her. (so ca. ein Jahr :D)

[ChrisM]

Hi,

ok, danke. Wenigstens weiß ich jetzt, dass es tatsächlich auch mathematisch gleich ist und nicht nur zufällig bei allen Werten, die ich probiere, das gleiche Ergebnis liefert.

ChrisM