4. sinus

sinus

  • H

    okay, danke, ich schaus mir mal in ruhe an

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  • M

    Hi,

    Sinus lässt sich auch als eine Summe schreiben und dann kann man einfach entsprechend annähern:
    ∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

    MfG Eisflamme

    Edit: Latex-Formel korrigiert. (fraq statt frac, URGH)

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  • ?

    die sog. potenzsummenformeln sind auch für die berechnung von cos(x), e^x angegeben, die ergebnisse sind beliebig genau.

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  • W

    Bleibt noch anzumerken, dass man keine unendliche Summation durchführen muss (wär ja auch nicht möglich). Man sollte sich unter Anwendung von bestimmten Kriterien (Leibnitz) berechnen, nach welchem Schritt man abbrechen kann, da die Datentypen nur eine begrenzte Genauigkeit erlauben.

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  • M

    Heul, kann mir mal einer die Sinus-Summenfunktion richtig in LaTeX hinschreiben? 🙄

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  • W

    So ist sie richtig 😉 .

    ∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

    Ich habe aber auch mal einige Reihenentwicklungen hier gepostet. Wenn die Suchfunktion wieder aktiv ist lassen die sich bestimmt einfach finden. Ansonsten findet man solche allgemeinen Sache i.d.R. auch bei Wikipedia.

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  • M

    Ach, frac statt fraq...

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  • W

    REPLACE \fraq WITH \frac 😉

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  • N

    Di gleiche Frage wollte ich auch mal stellen, aber dann hatte ich in der Schule Taylor-Polynome/Reihen. Im Prinzip funktioniert es so, dass man die Funktion, die erste Ableitung die Zweite Ableitung, die dritte, und so weiter der Funktion(hier Sinus) am Punkt X=0 mit einem Polynom gleichsetzt, dabei muss man ein paar Dinge beachten(frag deinen Mathelehrer oder Lehrerin), am Ende kommt aber raus(kann man eigentlich im Kopf ausrechen):
    (Ich kann nicht Latex, ist aber nicht schlimm, bin nur zu Faul!)
    Y=X11!−X33!+X55!−X77!+X99!−X1111!+X1313!−....Y=\frac{X^{1}}{1!}-\frac{X^{3}}{3!}+\frac{X^{5}}{5!}-\frac{X^{7}}{7!}+\frac{X^{9}}{9!}-\frac{X^{11}}{11!}+\frac{X^{13}}{13!}-....
    Das ist die bereits erwähnte Formel, nur ausgeschrieben. Wieviele (X^n)/(n!) Therme du benutzt, häng von der gewünschten Genauigkeit ab. Auch das kann dir deine Mathelehrerin/Lehrer erklären. Es reicht aber normalerweise, wenn du bis 21 gehst. Leider hab ich den Teil damals in der Schule nicht verstanden, wie man das abschätzt.(zweites Halbjahr 13 Klasse, nicht Abirelevant, wer passt da noch auf?)

    Latexprobieren:
    FERTIG

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  • N

    Kann mir jemand die Abschätzung über die Abweichung erklären? Am beispiel von Sinus(X) und e^X ?

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  • F

    @Nimda: meinst du das Lagrangesche-Restglied?
    (@all:Frage am Rande: wie editiere ich hier beim Erstellen eines post die mathematischen Formeln??oder einfach als URL einfügen??)

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  • O

    nö, zuerst latex tags, und dann dadrunter die schönen zeichen, wenn ich mich net irre

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  • F

    @otze: oh man, ich glaube ich war blind, daß ich die buttons nicht gesehen habe...

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  • W

    Nimda schrieb:

    Kann mir jemand die Abschätzung über die Abweichung erklären? Am beispiel von Sinus(X) und e^X ?

    Wenn ich mich recht entsinne war der Fehler beim Abbruch der Sinusreihe nach dem n-ten Element kleiner als der Betrag des n+1-ten Elementes, da die Folgengleider alternierend und streng monoton fallend sind. Habe das Leibnitz-Kriterium aber nicht mehr 100%ig im Kopf.

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  • N

    Ja, ich glaub ich meine das Lagrangesche-Restglied. Ob es das "Lagrangesche" war weiß ich nicht mehr, aber es war ein Restglied. So blöd sich das jetzt auch anhört.

    Kann mir das einer erklären? Bitte!

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  • W

    Also, das Ding ist alternierend. Das bedeutet aufeinander folgende Reihenglieder haben unterschiedliche Vorzeichen. Nun ist aber jedes Glied kleiner als sein vorangehendes.

    z.B. 12−14+18−116=516<12\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}=\frac{5}{16}<\frac{1}{2}

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  • N

    @MaSTaH: War das als Antwort auf meine Frage gedacht? Wenn ja, verstehe ich es nicht.

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  • W

    Google doch mal nach Leibnitz-Kriterium, dann weißt du worauf ich hinaus will. Das oben war ein Beispiel und hat nichts mit dem Sinus zu tun.

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  • F

    ...und was hat das Leibnitzkriterium mit dem Lagrangeschen Restglied zu tun ??
    es stimmt, daß für die Darstellung einer Funktin als Taylorreihe das Lagrange Restglied gegen 0 konvergiert und daß das Leibnitz-Kriterium besagt, daß jede unendliche Reihe in |R konvergiert, wenn deren Koeffizient alternierend und die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist. Was hilft mir das denn zum Verständnis des Restgliedes?
    edit: gebe ja zu, daß ich die Erklärung auch nicht ad hoc hinkriege [*schähm]

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  • W

    freshman schrieb:

    Was hilft mir das denn zum Verständnis des Restgliedes?

    Bei uns wurde das mit in die Definition des Kriteriums gepackt, wie man den Abbruchfehler abschätzen kann. Kenne das nur in dem Zusammenhang und nicht als Lagrage'sches Restglied.

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