grenzwert, l'hospital, keinen plan

hui
ich hab folgendes

grenzwert

lin x gegen 0

1- cos(2x) / xhoch4

jetzt habe ich im nächsten schritt

2x sin(2x) / 4xhoch3

und dann???

2sin(2x) + 2x2xcos(2x) / 12xhoch2

ne oder?
dann muss ich ja nochmal ableiten. ist das richtig so? wenn nicht, wie dann. und wie lautet der letzte schritt. also ich find das bissle heftig

Abbadon

deine ableitung ist falsch,
aber es spricht nichts dagegen die regel von l'Hospital mehrmals anzuwenden.

und was ist falsch? wie ist es richtig? was genau ist falsch?

die ableitung ist falsch, hat er doch geschrieben. anders gesagt: $\left(\frac{a}{b}\right)'\ne\frac{a'}{b'}$

außerdem ist l'hospital nur anzuwenden, wenn zähler und nenner den gleichen grenzwert haben. da aber cos(x) höchstens 1 werden kann, strebt wohl der bruchwert gegen ∞, oder?

hm... vergiß es, ja?
es ist schon spät....

Abbadon

so würde ich das machen:

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos(2x)}{x^4} =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin(2x)}{4x^3} =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\cos(2x)}{12x^2} =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\cos(2x)-2x\sin(2x)}{24x}$

$=\infty$

Taurin

Ihr könnt alle nicht ableiten, oder?

(2*sin(2*x))' = 4*cos(2*x)

freshman

... l'Hospital...l'Hospital...l'Hospital...
= lim (-16*cos(2x))/24
= lim -16/24 * cos(2x)
= -2/3 * lim cos(2x)
= -2/3 * 1
= -2/3 :p
richtig??

Abbadon

ach ist doch egal!
hauptsache das ergebnis stimmt

Taurin

freshman schrieb:

... l'Hospital...l'Hospital...l'Hospital...
= lim (-16*cos(2x))/24
= lim -16/24 * cos(2x)
= -2/3 * lim cos(2x)
= -2/3 * 1
= -2/3 :p
richtig??

Die Umformungen: ja. Aber die haben nix mit der Aufgabe oben zu tun.

lim (1 - cos(2*x)) / x^4
= lim (2*sin(2*x)) / (4*x^3)
= lim 4*cos(2*x) / (12*x^2)
= [e]infin[/e]

freshman

@taurin: du hast recht! ich habe nicht darauf geachtet, daß ich bei
lim 4*cos(2*x)/(12*x^2) l'Hospital nicht mehr anwenden darf, da der Nenner mit x->0 zwar Null der Zähler aber in |R+ bleibt und dei Bedingungen für das Anwenden von l'Hospital nicht mehr gelten! (post scriptum: ist alles schon soooo lange her;-()

Taurin

freshman schrieb:

@taurin: du hast recht!

Das hört man doch gern

Hi, muss du dass den unbedingt mit hospital machen?
eigtl. kann man die lösung schon durch hinschauen erkennen...

im zahler, kann nur ein wert zwischen 2 und 0 stehen
cos(2x)=1 ; für x --> 0 ; deswegen im Zähler eine positive 2
der nenner kann auch nur positiv werden, egal ob man sich der null von links oder rechts nähert, da x^4 immer positiv.
wenn man durch eine Zahl < 1 teilt, wird der Wert grösser. (Mit Kehrwert multiplizieren)
je weiter man sich der 0 nähert, umso kleiner wird der Nenner, dies wird durch die 4 im exponenten noch beschleunigt.

==> lim f(x)= +unendlich ; x--> 0
aber l'hospital geht natuerlich auch .p

Taurin

Du hast die Aufgabe nicht gelesen:

lim (1 - cos(2*x)) / x^4

Problem "0/0", und nur deswegen kann man l'Hospital anwenden. Muss man nicht.
Aber warum sollte man es nicht tun?