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CStoll schrieb:
Hast du bei deinen Überlegungen auch daran gedacht, daß möglicherweise Überträge bei der Addition auftreten könnten? Die 1 könnte unter der Summe auch aus 8+3 entstanden ein.
(und damit könnte auch schon dein Ausgangs-Argument entkräftet werden: 15+17 = 32, aber (1+5)+(1+7)=14≠(3+2))
Okay, war davon ausgegangen, dass keine Uebertraege auftreten duerfen. Naja, hat meine Ueberlegung wenigstens gezeigt, dass Uebertraege auftreten muessen
einige Betrachtungen, die eventuell die Loesung der Aufgabe vereinfachen:
- es ist egal, ob man C und F, B und E oder A und D vertauscht, weshalb man oBdA sagen kann dass A<D, B<E, C<F
- G >=4, da mit A=1, D=2 und B,C,E,F >=4 immer ein Uebertrag von B+E kommt.
- In Spalten ohne Ueberschlag aus der vorherigen Spalte taucht eine gerade Anzahl ungerader Zahlen auf, da g+g=g, g+u=u, u+u=g. In Spalten mit Ueberschlag taucht eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen auf, da g+g+1=u, g+u+1=g, u+u+1=u
Da insgesamt 5 ungerade Ziffern vorhanden sind, gibt es genau eine Spalte mit Uebertrag aus der vorherigen Spalte. Die Ungeraden Zahlen koennen auf die drei Spalten in zwei Weisen verteilt werden: 0-2-3, 2-2-1.
- wenn C+F<10, findet der Ueberschlag zwischen den ersten Spalten statt. Man kann dann aber ohne etwas zu aendern die letzte Spalte nach vorne ziehen, also kann man davon ausgehen, dass der Ueberschlag zwischen den letzten Spalten stattfindet -> C+F>10
- bei genau einem Ueberschlag ist Summe(A-F)+1-10 = Summe(G-I) (wenn C+F > 10, ist I=C+F-10 und H=B+E+1, G=A+D; analog wenn der ueberschlag eine Spalte weiter stattfindet).
Daraus folgt: Summe(A-F) = Summe(G-I)+9
=> 45 = Summe(A-F)+Summe(G-I) = 2*Summe(G-I)+9
=> Summe(G-I) = 18, Summe(A-F) = 27
erstmal zusammenfassen:
G+H+I = 18
C+F=I+10
B+E+1=h
A+D=G
A<D, B<E, C<F
G>=4
Moeglichkeiten fuer 18 aus drei Ziffern (G-I):
981, 972, 963, 954, 873, 864, 765
Fall 765: Da 8 und 9 ueber der Summe stehen und es nur einen Ueberschlag gibt, muss C=8, F=9. I=C+F-10 = 7, dann ist H=6 oder G=6. Falls G=6 gilt G=2+4, 5=H=B+E+1=1+3+1 geht!
Falls H=6 gilt G=5 = 2+3 oder 1+4, H = 1+4+1 oder 2+3+1 geht beides! Loesungen also:
218 128 218
+349 +439 +439
==== ==== ====
567 567 657
/edit: Fall 864:
Da die 9 zum Uebertrag beitragen muss, gilt F=9 und I != 8
falls I=4 muss C=5, und da die 7 oben untergebracht werden muss folgt sofort A=1,D=7,G=8, B=2, E=3, H=6=B+E+1 passt!
falls I=6 folgt C=7 und sowohl G=8 als auch G=4 ergeben sich schnell. Loesungen also:
125 317 127
+739 +529 +359
==== ==== ====
864 846 486
Fall 981:
Die 1 muss klar aus dem Ueberschlag stammen, also I=1.
fuer C,F ergeben sich die Moeglichkeiten 4+7, 5+6.
bei 4+7 bleiben die Paare 2,6 und 3,5 die jeweils 8 ergeben, mit H=9 ist auch der Ueberschlag drin. ausserben kann man mit B=2, E=5 den Fall H=8 realisieren
bei C,F = 5,6 bleibt B,E=3,4 und A,D=2,7 fuer H=8 als einzige Moeglichkeit
234 324 324 235
+657 +567 +657 +746
==== ==== ==== ====
891 891 981 981
Fall 972:
I=2 ist klar, es folgt sofort C,F = 4,8
Fuer G=7 folgt A=1,D=6. Fuer H=7 Folgt B=1, E=5
314 134
+658 +658
==== ====
972 792
Fall 963:
Falls I !=3 folgt G=3, H=9, I=6 (H=3 ist nicht moeglich, I=9 auch nicht)
I=6 ist aber nur durch C+F=16=7+9 zu erreichen -> keine Loesung
Also I=3 => C=5, F=8. Als einzige Moeglichkeit bleibt H=6=1+4+1, G=9=2+7
215
+748
====
963
Fall 873:
Wie oben gelangt man zum Schluss dass I=3, mit C+F=4+9
Die Paare 1,6 und 2,5 ergeben jeweils 7 => zwei Loesungen fuer H=8
Mit 2+6=8, 1+5+1=7 gibts auch ne Loesung fuer G=8
124 214 214
+659 +569 +659
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783 783 873
Damit sind alle Loesungen abzueglich Permutationen gegeben.
Zu jeder von mir aufgeschriebenen Loesung gibts 16 Alternativen, die aber unter obigen Betrachtungen alle aequivalent sind (2^3 fuer die moeglichen vertauschungen von AD, BE, CF, mal 2 fuer die Moeglichkeit, den ueberschlag in spalte 1 oder 2 zu bekommen)
Insgesamt gibt es fuer das Problem also 16*16=256 Loesungen.