4. Häufungspunkte

Häufungspunkte

  • F

    Hallo zusammen,

    ich verstehe nicht so richtig, was genau hinter einem Häufungspunkt steckt. Ich weiß, dass ein Punkt einer Menge ein Häufungspunkt ist, wenn er unendlich viele Punkte in seiner Nähe hat. So schildert es jedenfalls Wikipedia.

    1.) Was heißt "in seiner Nähe".

    2.) Ich habe das Intervall (0,1]. Warum sind alle Punkte aus [0,1] Häufungspunkte? Etwa weil es unendlich viele Punkte darum gibt? Aber warum ist dann auch 0 ein Häufungspunkt?

    3.) Eine endliche Menge kann keine Häufungspunkte besitzen, oder?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • Mod

    freakC++ schrieb:

    Hallo zusammen,

    ich verstehe nicht so richtig, was genau hinter einem Häufungspunkt steckt. Ich weiß, dass ein Punkt einer Menge ein Häufungspunkt ist, wenn er unendlich viele Punkte in seiner Nähe hat. So schildert es jedenfalls Wikipedia.

    😕 Wikipedia gibt doch auch genaue Definitionen an. Aber gut:

    1.) Was heißt "in seiner Nähe".

    In jeder beliebigen offenen Umgebung.

    2.) Ich habe das Intervall (0,1]. Warum sind alle Punkte aus [0,1] Häufungspunkte? Etwa weil es unendlich viele Punkte darum gibt? Aber warum ist dann auch 0 ein Häufungspunkt?

    Weil auch in jeder Umgebung von 0 unendlich viele Punkte aus (0,1] liegen. Herausforderung: Nenne mir eine offene Umgebung um 0 und ich nenne dir unendlich viele Punkte aus (0,1] die darin liegen.

    3.) Eine endliche Menge kann keine Häufungspunkte besitzen, oder?

    Ja.

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  • S

    Ma angenommen du hast ne Metrik ... ahm ne das lassen ma wir weg.

    Ok, wir haben also irgend eine Menge XX und wir wissen was Kugeln sind ( haben Abstandsbegriff ), weiter ham wir ne Teilmenge M von der wir die Häufungspunkte wissen wollen.

    Nim nen Punkt aus XX, male ne Kugel (offen) drumherum und schaue nach ob in der Kugel Punkte der Menge MM liegen. Ist das so, für eine beliebige Größe der Kugel, handelt es sich um einen Häufungspunkt, der Menge MM .
    Man könnte auch sagen: du findest eine Folge in MM die gegen diesen Punkt konvergiert ( der Grenzwert ist nicht notwendigerweise in MM)

    Beispiel: M=(0,1] \subset \mathbb R und X=RX = \mathbb R . Trival 2∈X2\in X kein Häufungspunkt, da Kugel Br=12(2)B_{r=\frac12}(2) mit Radius 12\frac12 also
    Br(y)={x∈R:y−r<x<y+r}B_{r}(y) = \{ x \in \mathbb{R} : y-r < x < y + r \}
    einen nicht leeren Schnit hat mit MM.
    In Worten: Zwei hat echten Abstand zu MM.

    Innerer Punkt: x=12x=\frac12, klar jedes Kügelchen schneidet MM. xx hat keien Abstand zu MM. Liegt ja drinne.

    Berührungspunkt: x=0x=0. Liegt nich drinne, hat aber keine Abstand zu MM. Weil MM beliebig nahe kommt ( kuschlig 🙂 ). Betrachten Kügelchen um 0:
    Br(0)={x∈R:∣x∣<r}B_r(0) = \{ x \in \mathbb{R} : |x| < r \}
    und
    M={x∈R:0<x≤1}M = \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x \leq 1 \}
    also ist M∩Br(0)M \cap B_r(0) sowas

    M∩Br(0)={x∈R:∣x∣<r und 0<x≤1}={x∈R:0<x<max{r,1}}M \cap B_r(0) = \{ x \in \mathbb{R} : |x| < r \text{ und } 0 < x \leq 1\} = \{ x \in \mathbb {R} : 0 < x < \text{max}\{r,1\} \}

    für r>0r > 0 seht man ein das M∩Br(0)M \cap B_r(0) ungleich der leeren Menge ist, also ist 0 ein Häufungspunkt.

    Finally: Also alle inneren Punkte sind Häufungspunkte (klar) und die 0 ist Häufungspunkt, also ist [0,1]= \{0\} \cup (0,1] \subset \mathbb{R}die Menge alle Häufungspunkte von (0,1] \subset \mathbb{R}.

    Und noch ein wenig verwirrung stift: Zur Frage drei, das hängt von der Topologie ab. Nimm zum Bsp {∅,X}\{ \emptyset, X\} als Topologie, da gibbet nur eine Umgebung ... kawum - alles Häufungspunkte.
    Anders nimmste die Potenzmenge als Topologie gibbet garkeine Häufungspunkte, egal ob endlich, abzählbar oder überabzählbar.
    ( natürlich sind diese Topologien nicht metrisierbar )

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  • F

    Hallo ihr beiden!

    Herzlichen Dank für eure Antworten, die mir schon sehr geholfen haben. Das Bild mit der Kugel macht das alles sehr viel anschaulicher für mich. In meinem Script habe ich eine Aufgabe gefunden, die indirekt mit Häufungspunkten zu tun hat.

    Ich soll entscheiden, ob die Funktion f auf der Menge D = [0,1] ∪\cup {2} stetig ist.

    f: x², falls x € [0,1]; 43, falls x = 2

    Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn die Implikation an→x0⇒f(an)→f(x0)a_{n} \rightarrow x_{0} \Rightarrow f(a_{n}) \rightarrow f(x_{0}) wahr ist.

    Nun ist 2 aber kein Häufungspunkt der Meneg D und kann damit auch keinen Grenzwert darstellen. Deswegen hatte ich auf den ersten Blick gesagt, dass die Funktion nicht stetig ist.

    Auf der anderen Seite wird die 43 nur dann getroffen, wenn in f die Konstante 2 eingegeben wird. Dieses Verhalten entpricht der Implikation. Während ana_{n} gegen 2 geht, läuft f gegen 43.

    Trotzdem tendiere ich noch zur Unstetigkeit, aber wie ich seht, bin ich nicht sicher.

    Könnt ihr mir sagen, welcher Gedankengang stimmt bzw. ob überhaupt einer stimmt? 🙂

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • M

    freakC++ schrieb:

    Nun ist 2 aber kein Häufungspunkt der Meneg D und kann damit auch keinen Grenzwert darstellen.

    Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

    Deswegen hatte ich auf den ersten Blick gesagt, dass die Funktion nicht stetig ist.

    Wie du das aus dem vorherigen Satz schließt, ist mir schleierhaft. Für jede Folge soll etwas gelten. Wenn du nun keine Folge hast, stimmt die Implikation natürlich, weil du eine Aussage über alle Elemente der leeren Menge machst. Jetzt gibt es zwar eine Folge, aber für die ist die Implikation schnell gezeigt.

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  • F

    Michael E. schrieb:

    Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

    Aber warum ist 2 ein Grenzwert? Der Wert wird doch genau nur einmal angenommen, nämlich, wenn in f 43 eingestopft wird. Außerdem sollte ein Grenzwert nie erreicht werden, was aber bei f(43) der Fall ist.

    Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein. 2 ist aber kein Häufungspunkt, weil es nicht in der Kugel liegt (vgl. ScottZhang) und damit auch kein Grenzwert, oder?

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  • B

    freakC++ schrieb:

    Michael E. schrieb:

    Wenige Zeilen später gibst du eine D-Folge mit Grenzwert 2 an.

    Aber warum ist 2 ein Grenzwert?

    Konvergiert die Folge 2, 2, 2, ..., und wenn ja, was ist ihr Grenzwert?

    Außerdem sollte ein Grenzwert nie erreicht werden

    Quatsch.

    Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

    Nein.

    Bitte lege auch mal deine Allergie gegen formale Definitionen ab.

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  • ?

    In isolierten Punkten sind Funktionen immer stetig, denn jede Folge die gegen den Punkt konvergiert erreicht ihn auch nach endlichen vielen Stellen.

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  • J

    freakC++ schrieb:

    Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

    Du schmeißt gerade wahrscheinlich Folgen- und Mengenhäufungspunkte durcheinander.
    Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

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  • S

    [quote="freakC++"]

    Michael E. schrieb:

    Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

    vollkommen richtig ähm sry nein.

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  • S

    [quote="ScottZhang"]

    freakC++ schrieb:

    Michael E. schrieb:

    Damit ein Element ein Grenzwert sein kann, muss es doch Häufungspunkt der Menge sein.

    vollkommen richtig

    Nein. Ein Gegenbeispiel wurde oben doch schon genannt.

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  • S

    Jockelx schrieb:

    Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

    Auch nich, nimm ne Folge {a_n}_n∈N\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N} die ab eine gwisses nn konstant ist.

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  • S

    Also es ist so: Das Komplement von {2}\{2\} in DD ist abgeschlossen, also ist {2}\{2\} offen. Das gleiche Spiel können wir im Bildbereich machen. Also sind solche einzelne Punkte offene Mengen ( sogar offen und abgeschlossen )

    Folglich iss das Urbild von 43 offen, somit f stetig.

    Hab ich recht ?

    Edit: Das passt auch zu dem Beitrag von namensloser.

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  • M

    Das stimmt zwar, hilft freakC++ aber wahrscheinlich nicht. Oder willst du ihm erklären, warum [0,1] in der Menge [0,1] vereinigt {2} abgeschlossen ist?

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  • S

    Achso, ja nee.

    Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

    Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

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  • B

    ScottZhang schrieb:

    Jockelx schrieb:

    Bei Folgen ist ein Grenzwert stets auch ein Häufungspunkt.

    Auch nich, nimm ne Folge {a_n}_n∈N\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N} die ab eine gwisses nn konstant ist.

    Ja und, was soll damit sein?

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  • S

    Die Menge {a_n}_n∈N\{a\_n\}\_{n\in\mathbb N} hat dann keinen Häufungspunkt.

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  • B

    Aber die Folge.

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  • S

    ach ja 🙂 schon gut. Wenn ich Häufungspunkt sehe, denk ich automatisch an Mengen.

    Also nochma: Menge hat keinen, Folge hat !

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  • ?

    ScottZhang schrieb:

    Achso, ja nee.

    Das mit den Folgen reicht ihm dachte ich.

    Ich hatte nur noch nach ner naiv-plausiblen Erklärung dafür gesucht das die isolierten Punkte offen sind. Das brauchen wir nämlich.

    Find die Folgendefinition für den Stetigkeitsnachweis im Punkt 2 viel einfacher. Hat er echt geschrieben, er MUSS es damit machen?

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