toplogie: Abschluß irreduzibler Menge

danke. 2 Sachen:

1. U=offen oder U=beliebige Teilmenge?
2. ich sehe immer noch nicht, wie

(1) "M irreduzible Menge eines topol. Raums => (topol.) Abschluß von M irreduzibel"

aus

(2) "X irred <=> alle nichtleeren U c X sind dicht."

folgt. Wenn U c X_ (Abschluß), dann muß man zeigen, daß U dicht in X_, wenn U n X dicht in X, aber was geschieht mit U n Rand(X) ?

und nein, ich mache keine alg.Geom. sondern ohne (1) fehlt mir ein Stück im Argument von ganz was Anderem.

mir wäre schon mit einem Beweis von (1) nur für die Zariski-Topologie geholfen.

1. U = offen (in "X irred <=> alle nichtleeren U c X sind dicht")

2. Kannst du mal genau sagen, welchen Schritt du in meinem Beweis nicht verstehst?

"mir wäre schon mit einem Beweis von (1) nur für die Zariski-Topologie geholfen." Und du machst keine alggeo? :p

ok, 2. hat sich erledigt: du beweist gar nicht die Äquivalenz "X irred <=> alle nichtleeren offenen Teilmengen dicht", sondern benutzt diese Äquivalenz.

jetzt zu 1. schrittweise:

gegeben: M topol Raum und alle offenen Mengen 0 <> U c M sind dicht.

zu zeigen: jede offene Menge 0 <> V c M_ ist dicht in M_

sei V eine solche Menge. 

V offen in M_ => V liegt nicht komplett im Rand(M) => V n M nichtleer. soweit klar.

a. wieso genau ist V n M offen in M - Wird die topologie in M einfach von der in M_ übernommen ?

Angenommen, das gilt. Dann folgt V n M nichtleer und offen in M.

b. wieso genau ist V n M damit dicht in M ?

angenommen, das gilt. dann folgt V n M dicht in M_, qed.

wie schließen sich die beiden Lücken a. und b. ?

PS. was sagst du zu meinem Gegenbeispiel im post #3 für die Zariski-topologie - wo ist in diesem Gegenargument der Fehler ?

buchstaben schrieb:

v
M ist irreduzibel, weil nicht weiter in abgeschlossene Mengen zerlegbar.

Falsch.

a: Ja, da Unterraum.
b: Weil M irreduzibel.

ok - wie lautet eine Zerlegung meines GegenBeispiels in abgeschlossene Mengen ?

zu a.: ich könnte doch M_ mit einer anderen Topologie ausstatten als M, dann wäre M n V nicht notwendig offen in M, wenn V offen in M_ ist. ???

zu b.: Beweis ?

So, wie sie schon dasteht. Dein Problem ist, dass du die Relativtopologie nehmen musst.

a. Dein Problem ist, dass du die Relativtopologie nehmen musst.

b. Nach Voraussetzung.

das nutzt mir wenig und die Behauptung "X irred <=> alle U offen sind dicht" ohne Beweis kann ich auch auf wiki nachlesen.

kannst du mal Schritt für Schritt und mit vollständigen Angaben (was ist offen in welcher Topologie, ... ) beweisen "X irred <=> alle U c X offen sind dicht in X" ?

und die Zerlegung von C x {0} v C* x {1} in abgeschl Mengen sehe ich immer noch nicht.

nun gut, das Gegenbeispiel ist keines, weil C* x {1} als Schnitt von C x {1} mit einer quasi-affinen Varietät relativ-abgeschlossen ist (und zwar in der Relativtopologie der quasi-affi. Var.), obwohl nicht abgeschlossen in der Zariski-Top. von C^2.

bleibt aber meine Frage:

kannst du mal Schritt für Schritt und mit vollständigen Angaben (was ist offen in welcher Topologie, ... ) beweisen

"X irred <=> alle U c X offen sind dicht in X"

?

"=>": Kontraposition: Wäre X = X_1 u X_2 mit X_1, X_2 c X abgeschlossen und nichtleer und ungleich X, so ist (X_1 - X_2) nichtleer und offen in X mit Abschluss enthalten in X_1, also nicht dicht in X wegen X_1 != X.

"<=": Kontraposition: Wäre 0 != U c X offen und nicht dicht, so wäre 0 != U_ != X abgeschlossen in X, und U_ u (X - U) eine nichttriviale Zerlegung in abg. Teilmengen.

"<=" verstehe ich.

"=>" würde ich mit "(X - X_2)" statt "(X_1 - X_2)" auch verstehen - Schreibfehler?

ok, danke soweit erstmal.

buchstaben schrieb:

"=>" würde ich mit "(X - X_2)" statt "(X_1 - X_2)" auch verstehen - Schreibfehler?

Nein, denn dann wäre (X - X_2)_ = X, also dicht.

aber X_1 - X_2 ist i.a. weder offen noch nichtleer (Bsp disjunkte zerlegung)

OK, du hast recht. Du musst dann nur noch (X - X_2)_ = X_1 zeigen.

Ich nochmal: Wegen X = X_1 u X_2 sollte (X - X_2) = ((X_1 u X_2) - X_2) = X_1 - X_2 sein.

hallo helferlein,

hab's selber rausgefunden:

X = X1 v X2 nicht-triviale disjunktion von in X abgeschlossenen Mengen
=> X - X1 offen in X 
=> X - X1 dicht in X (nach Annahme)
=> jede abgeschl. Menge M, die X - X1 enthält, ist gleich X.
=> mit M:=X2 folgt X2 = X, Widerspruch.

und grüß Düsentrieb.

für die Ausgangsfrage hab' ich eine Lösung gefunden, die ohne Dichte auskommt:

sei X topol. Raum, M c X als topol. Raum irreduzibel. 

zeigen: M_ (Abschluß in X) irred. top. Raum:

angnumma, M_ ist nicht irreduzibel, und M_ = A v B eine entsprechende Disjunktion

=> de Morgan: M = M n M_ = M n (A v B) = (M n A) v (M n B) (#)

da A, B abgeschlossen in der M_-relativen Top. von X sind, sind M n A, M n B abgeschlossen in der M-relativen Top. von X
Wäre M n A = {}, dann M = M n B => M c B => M_ c B_ = B => M_ = B, Widerspruch.
Wäre M n A = M, dann M c A => M_ c A_ = A, Widerspruch
=> (#) ist nicht-triviale Disjunktion 
=> M nicht irreduzibel, Widerspruch.