toplogie: Abschluß irreduzibler Menge

nun gut, das Gegenbeispiel ist keines, weil C* x {1} als Schnitt von C x {1} mit einer quasi-affinen Varietät relativ-abgeschlossen ist (und zwar in der Relativtopologie der quasi-affi. Var.), obwohl nicht abgeschlossen in der Zariski-Top. von C^2.

bleibt aber meine Frage:

kannst du mal Schritt für Schritt und mit vollständigen Angaben (was ist offen in welcher Topologie, ... ) beweisen

"X irred <=> alle U c X offen sind dicht in X"

?

"=>": Kontraposition: Wäre X = X_1 u X_2 mit X_1, X_2 c X abgeschlossen und nichtleer und ungleich X, so ist (X_1 - X_2) nichtleer und offen in X mit Abschluss enthalten in X_1, also nicht dicht in X wegen X_1 != X.

"<=": Kontraposition: Wäre 0 != U c X offen und nicht dicht, so wäre 0 != U_ != X abgeschlossen in X, und U_ u (X - U) eine nichttriviale Zerlegung in abg. Teilmengen.

"<=" verstehe ich.

"=>" würde ich mit "(X - X_2)" statt "(X_1 - X_2)" auch verstehen - Schreibfehler?

ok, danke soweit erstmal.

buchstaben schrieb:

"=>" würde ich mit "(X - X_2)" statt "(X_1 - X_2)" auch verstehen - Schreibfehler?

Nein, denn dann wäre (X - X_2)_ = X, also dicht.

aber X_1 - X_2 ist i.a. weder offen noch nichtleer (Bsp disjunkte zerlegung)

OK, du hast recht. Du musst dann nur noch (X - X_2)_ = X_1 zeigen.

Ich nochmal: Wegen X = X_1 u X_2 sollte (X - X_2) = ((X_1 u X_2) - X_2) = X_1 - X_2 sein.

hallo helferlein,

hab's selber rausgefunden:

X = X1 v X2 nicht-triviale disjunktion von in X abgeschlossenen Mengen
=> X - X1 offen in X 
=> X - X1 dicht in X (nach Annahme)
=> jede abgeschl. Menge M, die X - X1 enthält, ist gleich X.
=> mit M:=X2 folgt X2 = X, Widerspruch.

und grüß Düsentrieb.

für die Ausgangsfrage hab' ich eine Lösung gefunden, die ohne Dichte auskommt:

sei X topol. Raum, M c X als topol. Raum irreduzibel. 

zeigen: M_ (Abschluß in X) irred. top. Raum:

angnumma, M_ ist nicht irreduzibel, und M_ = A v B eine entsprechende Disjunktion

=> de Morgan: M = M n M_ = M n (A v B) = (M n A) v (M n B) (#)

da A, B abgeschlossen in der M_-relativen Top. von X sind, sind M n A, M n B abgeschlossen in der M-relativen Top. von X
Wäre M n A = {}, dann M = M n B => M c B => M_ c B_ = B => M_ = B, Widerspruch.
Wäre M n A = M, dann M c A => M_ c A_ = A, Widerspruch
=> (#) ist nicht-triviale Disjunktion 
=> M nicht irreduzibel, Widerspruch.