Polynome 3. Grades lösen?

Jester

@Webfritzi:

Die Cardano-Formel, welche sonst?

@all:

Besondere wünsche, was wie in die FAQ mit rein soll?

MfG Jester

Mis2com

Hm, also man braucht eine Nullstelle und kann dann sämtliche Lösungen dadurch berechnen?
Z.B. hier:

5x^3 + x^2 - 6x = 0

Nullstelle ist hier bei x = 1.

Also Polynomdivision:

/ (x - 1) ?

Und wenn, wie würde man dann überhaupt das teilen?
Bei jedem Summanden das geteilt hinschreiben und dann ... hm

Jester

Ansatz ist korrekt. In der FAQ steht ein Beispiel.

Mis2com

Sehr gut, ich sehe mir das sofort mal an.

EDIT:
Hmmm, irgendwie kapiere ich die Polynomdivision nicht

Jester

Funktioniert im Prinzip genauso wie schriftliches dividieren.

Mis2com

Und wo ist der Unterschied?
Ich meine, ignoriert man die Exponenten oder wie?

absolute_beginner

Nein, gerade die sind doch wichtig:

Ein Beispiel:

x^2 + 4x + 4 : x + 2

Jetzt teilst Du einfach x^2 durch x + 2; das Ergebnis ist x.

x^2 + 4x + 4 : x + 2 = x
-(x^2 + 2x)
-----------
    0 + 2x + 4

Jetzt teilst Du 2x + 4 durch x + 2; das Ergebnis ist 2.

x^2 + 4x + 4 : x + 2 = x + 2
-(x^2 + 2x)
-----------
    0 + 2x + 4
      -(2x + 4)
      ---------
             0

Die Exponenten sind sehr wichtig; die Subtraktion uner Nichtbeachtung der Potenz von x ist eine der häufigsten Fehlerquellen.

aaaa3

Bei dem Beispiel 5x^3 + x^2 - 6x = 0 geht es viel einfacher.
5x^3 + x^2 - 6x = x*(x^2 + x - 6) = 0
=> x = 0 oder x^2 + x - 6 = 0
Daraus ergeben sich die drein Nullstellen 0; 2; -3

Es gibt davon so viele , wie zum Beispiel das Newton-Verfahren,das Leibnizverfahren u.s.w.
Mit ihnen kann man sehr schnell eine Nullstelle berechnen,dann wendet man die Polynomdivision an und bekommt eine einfachere Gleichung.
Gilt übrigens für Gleichungen n-ten Grades(n>4).
Wenn ihr die o.a. Verfahren nicht kennt,dann schreibt wieder!

Jester

Das sind aber nur Näherungsverfahren. Eine exakte Lösung kann man damit nicht unbedingt finden. Und wenn ich eine Näherung verwende und diese abdividiere, was mache ich dann mit dem Rest der übrig bleibt? Wenn ich ihn einfach weglasse, dann verfälscht das die restlichen Nullstellen noch weiter.

Polynome vom Grad größer als 4 lassen sich nicht zwangsläufig algebraisch auflösen.

MfG Jester

Mis2com

Jetzt teilst Du einfach x^2 durch x + 2; das Ergebnis ist x.

Wiesoooo?

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Jetzt teilst Du einfach x^2 durch x + 2; das Ergebnis ist x.

Wiesoooo?

Berechtigte Frage, denn das stimmt auch so nicht. Du teilst immer durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten. Du teilst also in diesem Fall durch x und nicht durch x+2. Das Ergebnis ist x. Beim Zurückmultiplizieren muss man die 2 allerdings in die Rechnung mit einbeziehen. Schau dir einfach nochmal das Beispiel in der FAQ an. Wenn du es dir genau anschaust, kannst du es nur verstehen!

absolute_beginner

Klar:

x^2 : (x + 2) = x

denn es gilt ja, wie wir alle wissen:

x * (x + 2) = x^2

Alles klar... *lol*

Mis2com

Achso, man muss es einfach in Linearfaktoren spalten, um das zu verstehen?

Nagut, ich schau mir das FaQ Beispiel jetzt mal an.

PS: LOL, ich Depp habe gerade erst gemerkt, dass das Beispiel ja garnet richtig war. Sorry, bin heute leicht daneben. (zu lange geschlafen :()

Also,die Genauigkeiten der mit Näherungsverfahren berechnete Nullstellen liegt mindestens bei 8 Dezimalstellen und ist damit nicht ungenauer als eine algebraische Lösung!

Walli

@superc: *prust*

Mis2com

lol, *g*

Also ich habe das mit der Polynomdivison jetzt verstanden, bzw. ich weiß, wie es geht, aber nicht warum:

Z.B.

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 = p(x)

Nullstelle: 1

Also Polynom teilbar durch: (x-1)

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) =
x^3 - 5x^2

Und jetzt teilt man x^3 irgendwie durch das erste xⁿ im Divisor, d.h. x

also x^2
Das wird dann rechts irgendwie hingeschrieben und das rechnet man dann auch zurück:
x^2(x-1) = x^3-x2

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) = x^2
x^3 - 5x^2
-(x^3-x2 - 5x^2)

=

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) = x^2
x^3 - 5x^2
-(x^3-6x2)
-----------
0+x^2

Soweit korrekt?

Wenn ja: ich verstehe es nicht, warum macht man das so?

Wieso teilt man jetzt x^3 durch das erste xⁿ im Divisor, wieso darf man das?
Und wieso multipliziert man das dann zurück, ich weiß jetzt wie, aber das warum ist mir nicht klar...

MfG MAV

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Soweit korrekt?

Nein! Du machst es dir viel zu kompliziert. Du kannst doch aus der Grundschule (!) noch die ganz normale schriftliche Division, oder? Das geht hier ganz genauso. Also:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2

Gut, das war schonmal richtig. Aber jetzt multiplizierst du einfach zurück. Das hast du zwar gemacht, aber du hast es falsch hingeschrieben. So geht das:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
--------------

So, jetzt haben wir zurückmultipliziert. Jetzt müssen wir subtrahieren. x^3-x3 = 0 und -5x^2-(-x2) = -5x^2 + x^2 = -4x^2. Klar? Also:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
--------------
      - 4x^2

So, und jetzt holst du dir den nächsten Teil runter:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
------------------
      - 4x^2 + 2x

und machst damit weiter. Tu's jetzt!

Mis2com

Mag sein, aber ich verstehe wie gesagt noch nicht, warum man durch das erste x^n teilen und das Ergebnis auf die rechte Seite der Gleichung schreiben darf.

Aber gut:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2 + 4x - 2 + 2/x - 2/(x^2)
-(x^3 -  x^2)
------------------
        4x^2 + 2x
      -(4x^2 - 4x)
      -----------------
             -2x + 2
           -(-2x + 2)
            ----------
                   2 + 0
                 -(2 - 2/x)
                  -------------
                      -2/x + 0
                    -(-2/x - 2/(x^2)(x-1))
                      -------------------
                             - 2/(x^2)(x-1)
...

Hm...

WebFritzi

Was ist wohl hieran falsch?

4x^2 + 2x 
-(4x^2 - 4x) 
----------------- 
       - 2x