Mal ein Zahlentheorierätsel

[dfgdfg]

Seien a,b,c positive ganze Zahlen mit 0 < a² + b² - abc ≤ c. Ist dann der mittlere Ausdruck stets eine Quadratzahl?

[Dommel]

so, dann will ich euch mal meine Ergebnisse präsentieren...

die Ungleichung ist nur wahr für

1. a=b=c=1
2. b=a+1, c=2
3. a=1, b=c

in allen drei Fällen ist der mittlere Teil 1, also eine Quadratzahl. (wobei der erste Fall nur ein spezieller Fall des dritten Falls ist...)

meine Überlegung:

wenn b = a:
$0<a^2+a^2-a^2c = (2-c)a^2 \leq c$
diese Ungleichung ist nur wahr für a=c=1, also a=b=c=1

wenn b = a+1:
$0<a^2+(a+1)^2-a(a+1)c=(2-c)a^2+(2-c)a+1 \leq c$
das ist wiederum nur wahr für c=2:
$0<1\leq2$
für c=1 wäre der mittlere Ausdruck größer als c=1:
$a^2+a+1$
und für c>2 wäre der Ausdruck negativ

wenn b = a+2
$0<(2-c)a^2+(4-2c)a+4 \leq c$
hier ist die Ungleichung nur wahr für a=1 und c=3=b
$0<-1-2+4=1 \leq 3$

wenn man jetzt so weiter machen würde (also b=a+3, ...) kommt man immer auf dasselbe Ergebnis (a=1 und b=c)

ich hoffe mal, dass das was ich hier geschrieben hab irgendwie richtig ist, allerings gebe ich keine Garantie auf Vollständigkeit!!

Korrekturen sind auch gerne willkommen...

[dfgfdg]

Gegenbeispiel: a = 12, b = 2, c = 6. Da kommt in der Mitte 4 raus.

[Dommel]

ist denn meine Vorgehensweise irgendwie richtig, oder hilft mir das überhaupt nicht weiter??

[Taurin]

gelöscht

[Dommel]

war ja auch nur ein Gegenbeispiel zu meiner Theorie, dass immer 1 rauskommt...
die er damit wohl widerlegt hat

[Taurin]

Auch gerade gesehen, habs deswegen gelöscht.

[GASTroentrographie]

dfgfdg schrieb:

Gegenbeispiel: a = 12, b = 2, c = 6. Da kommt in der Mitte 4 raus.

Achso, 4 ist keine Quadratzahl(Wie, auch nicht von 2???)?

Hmm, da hab ich mich wohl bisher immer vertan.

[Dommel]

schon wieder so einer, der nicht alles gelesen hat...

[dfgdfg]

Dommel schrieb:

war ja auch nur ein Gegenbeispiel zu meiner Theorie, dass immer 1 rauskommt...
die er damit wohl widerlegt hat

Tipp: Sooo einfach ist die Aufgabe nicht.

[Dommel]

dann muss ich mich mit meiner Schulmathematik wohl geschlagen geben...

[dfgdfg]

Man kann auch sehr schwierige Aufgaben mit elementarer Lösung machen

[dfgdfg]

Hinweis: Dies ist eine Verallgemeinerung der letzten Aufgabe von http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html

[TGGC]

Also ich hab das Gefühl, alle Lösungen mit a>b genügen den folgenden Bedingungen:
a = b * c
b * b < c

Vielleicht hilft das jemandem.

Bye, TGGC

[dfgdfg]

TGGC schrieb:

Also ich hab das Gefühl, alle Lösungen mit a>b genügen den folgenden Bedingungen:
a = b * c
b * b < c

Vielleicht hilft das jemandem.

Bye, TGGC

Gegenbeispiel zu beidem: a = 3, b = 2, c = 2

[Jester]

Hm, erstmal rechnen:

0 < a^2 + b^2 - abc ≤ c:

1. 0 < a^2+b2-abc <=> abc < a^2+b2 <=> c < (a^2+b2)/ab
2. a^2+b2-abc <=c <=> a^2+b2 <= c(ab+1) <=> (a^2+b2)/(ab+1) <= c.

Also haben wir für c schonmal recht enge Grenzen gefunden.

Okay, wie breit ist dieses Fenster für c eigentlich?

(a^2+b2)/(ab) - (a^2+b2)/(1+ab) = (a^2+b2)(1/ab - 1/(1+ab)) = (a^2+b2)(1/(ab*(ab+1)) <= (a^2+b2)/(a^2*b2) = 1/a^2 + 1/b^2 <= 1 (für a,b>0).

Ui, das sieht sehr schmal aus. Da scheint nur für eine einzige Zahl Platz zu sein.

Kommen wir damit weiter?

[TGGC]

Ich hab auch schonmal quadratische Ergänung (zu (a-b)^2) versucht, bringt wohl aber auch nichts...

Bye, TGGC

[dfgdfg]

Tipp: Wenn Gleichheit gilt, seid ihr nach http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html fertig ...