4. Relationen feststellen

Relationen feststellen

  • ?

    Morgen!
    Wir haben gerade mit Relationen angefangen und ich soll nun einige Aufgaben lösen... Leider bin ich da noch nicht so wirklich durchgestiegen und hätte gerne etwas Hilfe von euch 🙂

    Also die Aufgabe lautet:
    *Untersuchen Sie, welche der folgenden Relationen ¨uber der
    Menge M reflexiv, symmetrisch, transitiv sind. Welche Relationen sind ¨ Aquivalenzrelationen?

    (a) M:=Z:xRy<−>x−yM := \mathbb Z : xRy <-> x - y ist durch 3 teilbar
    (b) M:=N×N 0:(a,b)R(c,d)<−>a∗d=b∗cM := \mathbb N \times \mathbb N \ {0} : (a,b)R(c,d) <-> a * d = b * c
    *

    Und noch zwei mehr... ABer erst mal zu denen hier ^^

    Also mit (a) habe ich schon mal angefangen:

    Ist M reflexiv?
    Ja. Weil x-x meistens 0 ist... Und 0 ist wohl durch 3 teilbar... 💡

    Ist M symmetrisch?
    Klar! Wenn x-y durch 3 teilbar ist, dann muss auch y-x durch 3 teilbar sein! 💡

    Ist M transitiv?
    Eine gute Frage... 😕 Wie kann ich das denn nun feststellen? Da haperts bei mir! Wäre schön, wenn mir das jemand möglichst genau/ausführlich erklären könnte! 😃

    Und bei (b) wäre meine Frage erstmal: Soll N×N 0\mathbb N \times \mathbb N \ {0} bedeuten, dass damit alle N's gemeint sind außer der 0?

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  • M

    Transitiv ist eine Relation wenn aus
    xRy und yRz
    => xRz folgt

    NxN_0 bedeutet wohl N(ohne Null) x N(mit Null)

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  • B

    M:=Z,xRy↔3∣x−yM := \mathbb{Z}, xRy \leftrightarrow 3|x-y

    Ist M transitiv?
    Eine gute Frage... 😕 Wie kann ich das denn nun feststellen? Da haperts bei mir! Wäre schön, wenn mir das jemand möglichst genau/ausführlich erklären könnte! 😃

    Eine Relation ist transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz. Auf deine Relation umgeschrieben:
    3 teilt x-y und 3 teilt y-z, d.h. es gibt ganze Zahlen n und m, so dass
    x-y = 3m und y-z=3n. Addiert man die beiden Gleichungen, ergibt sich x-z=3(m+n), x-z ist also auch durch 3 teilbar. Die Relation ist folglich transitiv.

    Und bei (b) wäre meine Frage erstmal: Soll N×N 0\mathbb N \times \mathbb N \ {0} bedeuten, dass damit alle N's gemeint sind außer der 0?

    Du meinst wohl N×N∖{0}\mathbb{N}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}, das entnehme ich aus deinem Latex-Quälcode. Ja, das soll es heißen. A \ B ist die Mengendifferenz von A und B: Die Menge aller Elemente von A, die nicht auch in B enthalten sind. Deine Relation basiert also auf der Menge aller geordneten Paare von natürlichen Zahlen, wobei die zweite Zahl des Paares ungleich 0 sein soll.

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  • ?

    Hallo!
    Ich hab mich irgendwie schlecht Ausgedrückt ^^
    Also im Prinzip weiß ich schon was Transitivität ist, abe rich weiß halt nicht, wie ich das nun rechnerisch darstellen soll!

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  • C

    a)
    reflexiv und symmetrisch ist korrekt erklärt - eventuell solltest du das noch in Formeln darstellen.

    transitiv:
    Wenn x-y durch drei teilbar ist und y-z durch drei teilbar ist, was kannst du dann über x-z sagen?

    (Tipp: du kannst "A ist teilbar durch B" auch schreiben als "A=n*B für n in N")

    b) N ist die Menge aller natürlichen Zahlen, N0 die aller natürlichen Zahlen außer 0 und N x N0 ist die Menge aller Zahlenpaare, wobei das erste Element aus N und das zweite aus N0 stammt. Und wenn du die gegebene Definition hernimmst, kannst du analog zu (a) durchrechnen, daß die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

    PS: "Äquivalenzrelation" ist nur eine Kurzschreibweise für "reflexive, symmetrische UND transitive Relation"

    PPS: Übrigens sind nicht die Mengen reflexiv etc, sondern die darauf definierten Relationen 😉

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  • J

    Oder man schreibt x-z = x-y + y-z, das dürfte noch etwas kürzer sein.
    Kleiner Tipp für die zweite Relation: Wenn man scharf hinsieht, dann hat das was mit Bruchzahlen zu tun. 😉

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  • ?

    Achso...
    Also ich kann praktisch aussuchen:
    sein n element N, dann ist x-y + y-z = 3*n bzw. dann x-z = 3n...
    oder eben x-z = x-y + y-z bzw. x-z = x-z...

    das hatte mir gefehlt... danke :)ich werd mich gleich mal an b setzen 😉

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  • ?

    Hmm... Nochmal für a zum Verständnis: ich brauch ja nun 2 Zahlen, weil ich ja 2 Ausdrücke verbinde, oder?
    Also x-y=3n
    y-z=3    m

    bzw. x-y + y-z = 3(n+m) ?!

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  • J

    Letztlich läuft die Argumentation wie vorher.

    Wenn Du aber x-z = x-y +y-z schreibst, dann weißt Du ja, daß x-y und y-z durch 3 teilbar sind. x-z ist die Summe dieser beiden durch 3 teilbaren Zahlen und damit ebenfalls durch 3 teilbar.

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  • ?

    Achso.. Ich dachte nur, weil ich ja von z bisher relativ wenig mitbekommen habe, dass das so nicht läuft... Aber nun leuchtets mir ein ^^

    Aber noch ne Frage zu b: ist die symmetrie d*a=c*b, oder muss ich da noch mehr in der gleichung umdrehen?

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  • ?

    btw: was soll man denn da für werte wählen? wenn ich a=2,b=3,c=4,d=5 setze, ist ja nun nicht 10=12...?!

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  • J

    (a,b)R(c,d) <=> (c,d)R(a,b) ist gleichbedeuten mit Symmetrie. Jetzt mußte eigentlich nur noch einsetzen. Feste Werte mußte nicht wählen, Du willst es ja für alle Tupel zeigen.

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  • J

    bob86 schrieb:

    btw: was soll man denn da für werte wählen? wenn ich a=2,b=3,c=4,d=5 setze, ist ja nun nicht 10=12...?!

    2/3 ist ja auch nicht das gleiche wie 4/5. 🙂

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  • ?

    ok, erwischt 😉

    gut, das hab ich dann abgearbeitet... fehlt noch der nachweis der transitivität... was soll ich denn nun nachweisen? (a,b)R(c,d) -> (a,b)R(b,e)?
    or what? °_0

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  • C

    Du hast drei Paare (a,b), (c,d), (e,f) und als Voraussetzung
    (a,b)R(c,d): a*d = b*c
    (c,d)R(e,f): c*f = d*e

    Die beiden Gleichungen kannst du jetzt umstellen:
    a/b = c/d
    c/d = e/f

    -> jetzt scharf hingucken, richtig zusammenfassen und schon erkennst du die Lösung 😃

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  • ?

    Also wenn a/b=c/d ist und c/d=e/f, dann ist a/b=e/f? Wenn ich mich mal einmischen darf 😃

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  • ?

    Hmm... Hätte ich jetzt auch gesagt... Ist das denn so richtig? 😕

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  • ?

    Niemand?

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  • J

    Jo, ist richtig so.

    0
  • ?

    Danke! 😃

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