Beweis: a < b => -a > -b
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Hallo,
ich versuche, mich in mathematische Beweise einzufinden und übe an folgender Aufgabe:
Es soll gezeigt werden:
a < b => -a > -b.Folgendes Axiom liegt vor, dieses habe ich verwendet.
Axiom der Anordnung:
a < b und c > 0 => ac < bcIch habe nun versucht, einen Widerspruchsbeweis zu führen:
Annahme:
a < b => -a < -bWiderspruch:
a < b => (-1)*a < (-1)*b-1 entspricht c im Axiom, und c muss > 0 sein.
Die Aussage (-1)*a < (-1)*b ist also falsch, womit sich zwei Moeglichkeiten ergeben.1. (-1)*a = (-1)*b kann nicht sein, denn die Prämisse a < b widerspricht dem bereits.
2. (-1)*a > (-1)*b, die somit einzige MoeglichkeitDies zeigt:
a < b => -a > -bq.e.d.
Kann ich den Beweis so stehen lassen? Irgendwie bin ich mir total unsicher, ob ich so
überhaupt argumentieren kann.Über Antworten würde ich mich freuen.
Danke
Marco
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Marco-B schrieb:
a < b und c > 0 => ac < bc
du hast aber
a < b und c > 0 <= ac < bc
benutzt, oder?
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Tut mir leid, verstehe ich nicht. An der konkreten Stelle sage ich ja lediglich, dass die Aussage dem Axiom nicht entspricht, oder?
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falls ich den beweis richtig gelesen habe und noch wach genug bin, gibts hier ein problem:
Marco-B schrieb:
Widerspruch:
a < b => (-1)*a < (-1)*b-1 entspricht c im Axiom, und c muss > 0 sein.
Die Aussage (-1)*a < (-1)*b ist also falsch,du folgerst also
aus
A => B
und
nicht A
daß
nicht Bkonkret
aus
a < b und c > 0 => ac < bc
und
nicht c > 0
daß
nicht ac < bcaber das gilt niocht so.
aus
A => B
und
nicht A
kann man nichts folgern.
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Okay, dann funktioniert mein Ansatz nicht. Wie würde man denn nun beweisen, dass a < b => -a > -b?
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Desweiteren ist die gemachte Annahme nicht das Gegenteil der zu zeigenden Aussage.
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Marco-B schrieb:
Okay, dann funktioniert mein Ansatz nicht. Wie würde man denn nun beweisen, dass a < b => -a > -b?
a < b | -b
a-b < 0 | -a
-b < -a?
Oder weißt Du dafür nicht genug?
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Marco-B schrieb:
Es soll gezeigt werden:
a < b => -a > -b.die Eigenschaft a <= b => a+c <= b+c darfst du verwenden, oder ?
angenommen, -a <= -b. Dann kann man auf beiden Seiten a addieren, also 0 = a-a <= a-b. Addiert man dort nun auf beiden Seiten b, steht da b <= a, insgesamt also a < b <= a, kurz a < a. Nicht gut, also ist die Annahme falsch und somit -a > -b.
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=>ist bei Marco doch der "daraus-folgt"-Pfeil, oder irre ich?
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Badestrand schrieb:
=>ist bei Marco doch der "daraus-folgt"-Pfeil, oder irre ich?sehe ich auch so. grösser/gleich ist mehr was für if-abfragen beim programmieren. in mathe gibts entweder gleichungen (=) oder ungleichungen (<,>).
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+fricky schrieb:
sehe ich auch so. grösser/gleich ist mehr was für if-abfragen beim programmieren. in mathe gibts entweder gleichungen (=) oder ungleichungen (<,>).
So ein Unsinn.
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ich glaube, es wäre nicht schlecht, anzunehmen, a>=b sei "a größerOderGleich b" und a=>b sei "aus a folgt b".
so verstehe icha <= b => a+c <= b+c
leider gibts bei <= eine kollission. naja, da muß man halt drüberwegsehen und frei interpretieren.
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volkard schrieb:
leider gibts bei <= eine kollission. naja, da muß man halt drüberwegsehen und frei interpretieren.
wir brauchen einfach wieder ein latex-plugin...
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=> meint die Implikation, sorry
Habe das Problem nun nachvollzogen. Mir ging es auch nicht darum, wie man mit Ungleichungen rechnet sondern einfach nur, wie man hieb- und stichfeste Beweise formuliert!
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Marco-B schrieb:
=> meint die Implikation, sorry
Habe das Problem nun nachvollzogen. Mir ging es auch nicht darum, wie man mit Ungleichungen rechnet sondern einfach nur, wie man hieb- und stichfeste Beweise formuliert!deine formulierung ist ganz verständlich. ein problemchen war das falschchen drin. der beweis von Daniel E. scheint mir hieb-und-stichfest und genial einfach, falls man noch ausgraben kann, warum a<b >= a+x<b+x.
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Bashar schrieb:
So ein Unsinn.
aber nicht immer. google mal nach dem sogenannten 'trichotomiegesetz'. das ist irgendwie teil der definition von reellen zahlen, also entweder grösser, kleiner oder gleich, aber nicht mehreres davon.
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+fricky schrieb:
Bashar schrieb:
So ein Unsinn.
aber nicht immer. google mal nach dem sogenannten 'trichotomiegesetz'. das ist irgendwie teil der definition von reellen zahlen, also entweder grösser, kleiner oder gleich, aber nicht mehreres davon.
So ein Unsinn.
= heißt doch gar nicht "größer UND gleich", sondern "größer ODER gleich". ob du nun "a>b oder a=b" oder "a>=b" oder "nicht a<b" schreibst, kannste halten, wie du willst. aber "a>=b" wäre meistens höflicher.
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volkard schrieb:
So ein Unsinn.
= heißt doch gar nicht "größer UND gleich", sondern "größer ODER gleich".
aber was ist dann a >= b ? eine vielleicht-gleichung oder eine wahrscheinlich-eher-ungleichung?
gibt's eigentlich auch ein 'grösser oder kleiner oder gleich'?
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fricky, frag doch einfach, wenn du was wissen willst, und behaupte nicht irgendwelchen Unsinn, um es dir dann haarklein erklären zu lassen.
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+fricky schrieb:
aber was ist dann a >= b ? eine vielleicht-gleichung oder eine wahrscheinlich-eher-ungleichung?
eine ganz normale ungleichung.
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung+fricky schrieb:
gibt's eigentlich auch ein 'grösser oder kleiner oder gleich'?
braucht man nicht, weil man statt "a 'grösser oder kleiner oder gleich' b" einfach "true" oder "" schreibt.