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Hallo,
ich gehe mal davon aus dass du die Matrizen elementweise ableiten willst. Sei also A,B:R→Rn×nA, B: \mathbf{R} \to \mathbf{R}^{n \times n}A,B:R→Rn×n und
C(t)=A(t)⋅B(t).C(t) = A(t) \cdot B(t)
\,.C(t)=A(t)⋅B(t).
Das Matrixprodukt ist durch
cij(t)=∑k=1naik(t)bkj(t)c_{ij}(t) = \sum_{k = 1}^n a_{ik}(t) b_{kj}(t)cij(t)=∑k=1naik(t)bkj(t)
gegeben. Nun lässt sich dies ableiten zu
∂cij∂t(t)=∑k=1n∂aik∂t(t)bkj(t)+aik(t)∂bik∂t(t)\frac{\partial c_{ij}}{\partial t}(t)
= \sum_{k = 1}^n
\frac{\partial a_{ik}}{\partial t}(t) b_{kj}(t) +
a_{ik}(t) \frac{\partial b_{ik}}{\partial t}(t)∂t∂cij(t)=k=1∑n∂t∂aik(t)bkj(t)+aik(t)∂t∂bik(t)
und man erhält durch zusammenfassen die Kettenregel
dC=dA⋅B+A⋅dB.\mathrm{d}C = \mathrm{d}A \cdot B + A \cdot \mathrm{d}B
\,.dC=dA⋅B+A⋅dB.
Um deine übrigen Fragen zu beantworten, müsstest du sagen, wie du die Ableitung einer Matrix definieren willst, wenn diese von mehr als einer Variablen abhängt.
