Kleines Problem mit Beweis
-
Nope, genau so kam sie in der Vorlesung vor. Ich tippe sie mal von dem Übungsblatt ab. Habe sie in einer Übung mal beweisen müssen.
Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung:
für den Fall, dass alle x positiv oder alle negativ und größer -1 sind.EDIT: Aber ich habe einen Denkfehler gefunden. Ich darf die Ungleichung nicht verwenden, weil ja nicht zwangsläufig größer gleich 0 ist, sondern nur für alle .
-
versuchs mal mit der geometrisch-arithmetischen Mittelungleichung für n-Variable, die ich dir jetzt mit vernünftiger Tastatur auch verraten könnte...
-
Meinst du ?
-
ich meine
die n-te Wurzel von Produkt(x_1 bis x_n)ist geometrisches Mittel.
1/n * Summe(x_1 bis x_n) ist arithmetisches Mittel.
G <= A.
Deine Formel ist der Fall n=2.
sorry, aber meine geschwuffene Klammer geht grad ned und ich bin zu faul nach Sonderzeichen zu googeln
-
Also...
\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x\_i}\leq\frac{1}{n}\sum\_{i=1}^{n}x_i
Danke, probiere ich morgen mal aus...
-
hallo!
du kannst es mit der Induktion beweisen.
dazu ein Tipp beim Ind.Schluss:
falls x1 * x2 * ... * xn ≠ 1
=> dann gibt es in diesem Produkt einen Faktor a mit a * xn+1 = 1
und mit s Faktoren in a. Das Produkt der übrigen n-s Faktoren ergibt dann 1!hoffe, bringt dich weiter.
Gruß mathik
-
Hi, ich werde es mal ausprobieren. Danke!
-
Der Beweis mit vollst. Ind. ist schon ein wenig trickreich: Sei die Behauptung für wahr. Sind alle , so ist die Behautung eh wahr. Gibt es ein , dann auch ein mit und umgekehrt. Sei dieser Fall nun gegeben. Dann können wir so umordnen, dass und . Setze dann . Dann folgt bzw. . Addieren mit auf beiden Seiten ergibt dann bzw.
.
Diese Ungleichung brauchen wir noch! Setze für i = 1,\dots,n-1 und . Dann ist , also nach Induktionsvoraussetzung: bzw.
$\begin{eqnarray*} n+1 &\le& 1 + \sum_{i=1}^n y_i\\ &=& 1 + x\_n\cdot x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &<& x\_n + x\_{n+1} + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\\ &=& \sum_{i=1}^{n+1} x_i\,, \end{eqnarray*}was zu zeigen war.
-
Wow, das ist echt druckreif. Vielen Dank .
-
Büdde. Gern geschehen.
-
Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?
-
Die musst du natürlich vorher auch beweisen. In meinem Beweis wird nichts als bekannt vorausgesetzt. Ich kenne außerdem diese Ungleichung nicht und hab auch keinen Bock, die nachzuschlagen.
-
hallo!
mit hilfe der "starken induktion" (nennt unser prof so) könnte man das noch einfacher zeigen, finde ich:
Ind. Annahme:
sei die Aussage wahr für alle i mit 1 ≤ i ≤ nInd. Schluss:
1. Fall:
x1 * x2 * ...* xn = 1
=> xn+1 = 1 und somit ist es für diesen Fall bewiesen.2. Fall
x1 * x2 * ...* xn ≠ 1
=> es gibt ein a im Produkt mit a * xn+1 = 1
wir stellen die Faktoren so um, dass die ersten s Faktoren a ergeben, also:
x´1 * x~2~ \* ... \* x
s * x~s+1~ \* ... \* x~n~ und a = x´~1~ \* x
2 * ... * x~s~ =\> nach Ind.Annahme: x´~1~ \+ x
2 + ... + x~s~ \+ x~n+1~ ≥ s + 1 und x
s+1 + ... x`n ≥ n - s=> beide Gleichungen addieren ergibt:
x´1 + x~2~ \+ ... \+ x
s + x~s+1~ ... \+ x
n + xn+1 ≥ n + 1Gruß mathik
-
***
-
***
-
Abbadon schrieb:
Mit der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel geht das aber wesentlich einfacher. Oder kam die bei dir in der Vorlesung nicht dran?
Kam nur für den Fall n=2 als Beweisübung dran. Deswegen glaube ich nicht, dass wir die verwenden sollen.
-
@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?
-
***
-
WebFritzi schrieb:
@mathik: Dein Beweis ist nicht in Ordnung! Stell dir mal vor, es gäbe nur die eine Möglichkeit, dass s = n. Dann kannst du für s+1 nicht mehr die Induktionsannahme verwenden. Verstehste?
hmmh...
du hast recht. für diesen fall hab ich ja:x´1 + x
~2~ \+ ... \+ x
n + xn+1 ≥ n + 1das muss man ja erst zeigen
immer diese voreiligen Schlüsseaber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...
Gruß mathik
-
mathik schrieb:
aber vieleicht kann man ja diesen speziellen fall noch irgendwie nachweisen...
Spezieller Fall? Aber das ist doch genau die Ausgangsbehauptung.