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Erst mal teilst Du den möglichen Wahrscheinlichkeitsbereich in zwei Teile:
Falls der Test eine Anzahl an schwarzen Kugeln liefert, die kleiner als X_Grenz ist, dann wird angenommen, es liege eine Urne mit 25% Schwarzanteil vor (Bereich 1, Annahmebereich), falls die Anzahl größer X_Grenz, dann nehmen wir an, die Urne hätte 50% (Bereich 2, Ablehnungsbereich).
Die Wahrscheinlichkeit, bei 80 Zügen k schwarze Kugeln zu ziehen, wenn 25% schwarz sind, ist bekanntlich P(k) = (80 über k) 25%^k 75%^(80-k).
P(x <= X_G) ist also die Summe über alle diese p(k) von 0 bis X_G und stellt Bereich 1 von oben dar.
P(x > X_G) = 1-P(x<=X_G) ist die verbleibende Wahrscheinlichkeit dafür, daß Bereich 2 ausgewählt wird (Ablehnung der Nullhypothese).
Jetzt sollen "beide Bereiche etwa gleich groß" gewählt werden, was wohl bedeuten soll, daß beide mit 50% getroffen werden.
Also P(x <= X_G) = P(x > X_G) = 1-P(x<=X_G), bzw. P(x <= X_G) = 0,5
Jetzt nimmt man entweder einen Computer und rechnet Summe von k=0 ... X_G über P(k) = ca. 50% aus, oder man guckt, ob man die kumulative Verteilungsfunktion für Binominalkram irgendwo tabelliert hat.