?
Bashar schrieb:
Mups schrieb:
otze schrieb:
Der Unterschied zu P(N) ist, dass du dort auch unendlich große Teilmengen drin hast (alle geraden Zahlen, alle Ungeraden zahlen...) und solche Mengen kriegst du mit der Konstruktion nicht hin.
Den Grund verstehe ich nicht. Die Vereinigung von abzählbar vielen Mengen A_i ist abzählbar, wenn alle A_i selbst abzählbar sind (beweisbar mit Diagonalverfahren). Das irgendwelche A_i unendlich groß sind, stört dabei nicht.
Die Endlichkeit der Teilmengen liefert hier die Abzählbarkeit der Indexmenge. Das ist bei P(N) nicht gegeben, deshalb funktioniert das Verfahren dort nicht. Das sagt an sich noch nichts über die (Über-)abzählbarkeit von P(N) aus, das kann man dann so machen, wie du angedeutet hast.
Für P(N) führt er das so weit ich in Erinnerung habe auf ein Widerspruch unter der Verwendung der Menge A = { x€N | x nichtElement f(x) }, diese ist selber Element von P(N) und dann benutzt er die biijektivität der Funktion f: N -> P(N) um sagen zu können, dass es ein m geben muss, sodass f(m) = A ist.
Dann führt er das auf ein Widerspruch zurück in den zwei fällen, dass entweder
a) m nichtElement A ist, damit müsste es aber laut Definition von A in A liegen und das ist ein Widerspruch, oder
b) m liegt in A, damit dürfte es aber nicht in f(m) liegen und ist somit wider ein Widerspruch.
