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Jester schrieb:
Diese Reihe ist der Sinus, weil der Sinus so definiert ist.
Muss nicht. Man kann den Sinus auch über exp() definieren. Aber das weißt du sicherlich selber. Wenn man so auch den Cosinus definiert, kommt man auf die allgemein bekannten Ableitungsregeln für diese Funktionen und kann die Taylorreihe bzw. die Taylorpolynome bilden. Jetzt ergibt sich die Frage nach dem Rest - also nach der Differenz von wirklichem Funktionswert und Taylorpolynom. Ein Satz aus der Analysis besagt, dass man diesen für das n-te Taylorpolynom in der folgenden Form darstellen kann:
R_n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x_0)n+1R\_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x\_0)^{n+1}R_n(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x_0)n+1
mit einem ξ∈(x,x0)\xi\in(x,x_0)ξ∈(x,x0). Dabei ist x0 der Entwicklungspunkt. Nun wissen wir aber, dass jegliche Ableitungen des Sinus, betraglich gesehen, entweder Sinus oder Cosinus sind. Diese Funktionen sind durch 1 beschränkt. Es ergibt sich also für den Fehler:
∣R_n(x)∣≤(x−x_0)n+1(n+1)!|R\_n(x)| \le \frac{(x-x\_0)^{n+1}}{(n+1)!}∣R_n(x)∣≤(n+1)!(x−x_0)n+1
Für festes x ist x-x0 eine Konstante, und wir hatten gerade kürzlich in einem Thread gezeigt, dass eine Folge von obiger Form gegen 0 geht. Der Fehler geht also für wachsendes n gegen Null, und somit konvergiert die Taylorreihe punktweise gegen den Sinus.
