F
\gamma : [a,b] \mapsto \mathbb R
varab(γ):=supV(γ,z)var_a^b(\gamma) := \sup V(\gamma, z)varab(γ):=supV(γ,z) wobei z={a=t_0,t_1,...,tn=b}z = \{a=t\_0, t\_1, ..., t_n=b\}z={a=t_0,t_1,...,tn=b} eine Zerlegung des Intervalls [a,b] und V(γ,z):=∑k=1n∣γ(t_k)−γ(t_k−1)∣V(\gamma, z) := \sum_{k=1}^n |\gamma(t\_k)-\gamma(t\_{k-1})|V(γ,z):=∑k=1n∣γ(t_k)−γ(t_k−1)∣ sein soll.
Eine Funktion heißt dann von beschränkter Variation, wenn varab(γ)<∞var_a^b(\gamma) < \inftyvarab(γ)<∞.
Das heißt, du unterteilst das Intervall [a,b] in viele kleine Intervalle und summierst die Beträge der Differenzen der Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Diese Summe muß dann < ∞ sein.
Nimmst du jetzt die Funktion f=xcos(πx)f = x \cos(\frac \pi x)f=xcos(xπ) und Zerlegungen zn:={0,12n,12n−1,...,12,1}z_n := \{0, \frac 1 {2n}, \frac 1 {2n-1}, ..., \frac 1 2, 1\}zn:={0,2n1,2n−11,...,21,1} kannst du nachrechnen, daß diese Funktion nicht von beschränkter Variation ist (analog für f=xsin(πx)f = x \sin(\frac \pi x)f=xsin(xπ)).