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krümelkacker schrieb:
Ich würde gerne etwas berechnen, weiß aber gerade nicht, wie ich dort hinkomme. Vielleicht habt ihr ja eine Idee:
Gegeben:
- eine NxN symmetrisch positiv (semi-)definite Matrix H
- eine positive reelle Zahl M
- eine Indexmenge I, Teilmenge aus {1,2,...,N}
Über eine solche Matrix H mit einem Wert M kann ich mir die Menge S definieren:
S := {x | xT H x <= M} (hochdimensionales Ellipsoid)
Gesucht:
- eine Matrix H', die nur hi,j mit i,j aus I nicht verschwindende Elemente besitzt. Die restlichen Elemente sind also alle 0.
- wobei die dazugehörige Menge S' so "klein" wie möglich ist, dabei aber noch S komplett enthält
Räumlich kann man sich das so vorstellen: Das Ellipsoid S wird orthogonal auf eine Hyperebene projiziert und mich interessiert die resultierende Ellipse in der Hyperebene. Das ist übrigens nicht der Schnitt der Ebene mit der Ellipse.
Irgendwer 'ne Idee?
Mein Gefühl sagt mir, dass man dazu ein Gleichungssystem a la H*A = B aufstellen und für A lösen muss.
wenn ich dich richtig verstanden habe, suchst du
S' := {x | minx_o{{(x_o + x_p)T H (x_o + x_p)} <= M}
mit:
x_o orthogonal zur hyperebene und x = x_o + x_p
d.h. ein punkt ist in S' wenn die projektion irgendeines punktes aus R^N in S ist.
das minimierungsproblem kannst du explizit lösen, da es ein einfaches quadratisches problem ist. damit hast du eine explizite darstellung von S', und der Schnitt von S' mit der Hyperebene ist deine gesuchte Menge.