?
Du musst dir erstmal klar werden, was dein Experiment mathematisch ist: Jede Messung ist die Ziehung einer Variablen aus einer Zufallsverteilung, zum Beispiel der Normalverteilung mit Mittelwert µ und Standardabweichung s. Das bedeutet, wenn du einmal ziehst, hast du eine Wahrscheinlichkeit von 68% dass der Wert in (m-s, m+s) liegt. Bildchen:
0.5 ++---------+-----------+----------+----------+-----------+---------++
+ + + 1/sqrt(2*pi) * exp(-x**2 / 2) ****** +
| |
| |
0.4 ++ ******* ++
| *********** |
| *************** |
| ***************** |
0.3 ++ ******************* ++
| *********************** |
| ************************* |
0.2 ++ *************************** ++
| ***************************** |
| ******************************* |
| ************************************* |
0.1 ++ *************************************** ++
| ******************************************* |
| ************************************************* |
+ *********************************************************** +
0 *********************************************************************
-3 -2 -1 0 1 2 3
Wenn du dein Experiment jetzt in eine Apparatur einbaut die sich darauf verlässt, dass x in einem bestimmten Bereich liegt, dann muss der Toleranzbereich der Apparatur z.B. 1*s sein, wenn es OK ist dass die Apparatur nur zwei von drei Mal funktioniert. Durch deine 30 Messungen hast du in etwa die Verteilung gemessen, aus der jedes x gezogen wurde.
Was ist jetzt mit dem s/sqrt(n) ?
Angenommen du baust dein Experiment in die obige Apparatur ein, und musst angeben, was der Mittelwert von x ist. Dann kannst du den von dir in 30 Versuchen gemessenen Mittelwert nehmen, aber: wie gut ist dieser Mittelwert? d.h. wie gut stimmt deine geschätzte Verteilung mit der "echten" überein? Selbst wenn du exakt weißt dass die "echte" Verteilung eine Gaussverteilung ist, weicht dein gemessener Mittelwert immer noch vom "echten" Mittelwert ab. Wie weit er abweicht, sagt dir s/sqrt(t).
tl;dr: Ohne Wurzel -> Streuung einer Einzelmessung (punktierte Verteilung), mit Wurzel -> Streuung des Mittelwerts (Rauten).
1.2 ++------+------------+------------+------------+------------+------++
| + + + exp(-x**2 / 2)+ . |
| exp(-x**2 * 30/2) ###### |
1 ++ ........... ++
| ...... ##### ...... |
| ..... ##### ..... |
0.8 ++ .... ####### .... ++
| ... ######### ... |
| .... ######### .... |
0.6 ++ ... ######### ... ++
| .... ########### .... |
| .... ########### .... |
.. ############# ..
0.4 ++ ############### ++
| ############### |
| ################# |
0.2 ++ ################### ++
| ##################### |
| + +#########################+ + |
0 #####################################################################
-1 -0.5 0 0.5 1
