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Kyon schrieb:
Das ist mir nicht so ganz klar; die 'restlichen' uneigentlichen Geraden der Ebene sind doch noch da, dann kann es doch nicht richtig affin sein oder? Gibts dazu (detaillierte) Beispiele...?
Jo klar.
Nimm mal den P(R2)\mathbb{P}(\mathbb{R}^2)P(R2).
Ein Punkt sieht da so aus: (x0:x1:x2)(x0:x1:x2)(x0:x1:x2) mit xi∈Rx_i \in \mathbb{R}xi∈R.
So. Jetzt lassen wir mal Den Teil weg x0=0 weg. Dann können wir o.E. die übrigen Punkte so schreiben: (1:x_1′:x2_′)(1:x\_1':x2\_')(1:x_1′:x2_′). Das kann man aber leicht
bijektiv in den R2\mathbb{R}^2R2 abbilden: pr(1:x_1:x_2):=(x_1,x_2)pr(1:x\_1:x\_2) := (x\_1, x\_2)pr(1:x_1:x_2):=(x_1,x_2)
Daß ich wirklich ne projektive Gerade rausgenommen hab sieht man recht leicht:
Wenn x0x_0x0 immer 0 ist, dann muß wohl immer eine der anderen Koordinaten != 0 und skalieren dürfen wir immer noch, also haben wir, wenn wir die 0 vorne vergessen einen P(R)\mathbb{P}(\mathbb{R})P(R) vor uns.
Wenn Du jetzt ne andere projektive Gerade rausnehmen willst, dann kannst die auch einfach vorher mit ner linearen Abbildung so transformieren, daß sie so aussieht, wie die eben. (Koordinatenwechsel). Daran sieht man dann, daß es egal ist welche projektive Gerade man rausnimmt.
MfG Jester