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Hi
Darfst du denn die Formeln von Wikipedia verwenden oder musst du es über die Definition berechnen?
Wenn zweiter Fall, weiterlesen
Die Rotation ist ein Vektor und einfacher zu berechnen als die Divergenz.
Die Definition ist
rot(F⃗)⋅n=lim∥A∥→0∮∂AF⃗⋅dr⃗∥A∥rot( \vec F ) \cdot n = \lim_{\|A\| \rightarrow 0} \frac{ \oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dr} }{\|A\|}rot(F⃗)⋅n=lim∥A∥→0∥A∥∮∂AF⃗⋅dr⃗
Dabei ist n ein Normalenvektor. Das heißt man berechnet mit rot(F)*n die Komponente des Vektors rot(F) in Richtung n. Wenn man sie nun für die drei Einheitsvektoren des karthesischen Koordinatensystems berechnet kommt man genau auf die Formel, die bei Wikipedia zu finden ist.
Die rechte Seite der Definition ist etwas Trickreich. Dafür muss erstmal klar werden was ein Wirbel in einem Vektorfeld überhaupt sein soll. Eine geschlossene Feldlinie um einen Punkt P in einer bestimmten Ausrichtung, nämlich am Rand einer Fläche A verlaufend, ist ein Wirbel. In solchen Fällen ist das Umlaufintegral ungleich 0. Verläuft die Feldlinie dagegen nicht vollständig um den Punkt herum, kommen entgegengesetzte Anteile anderer Feldlinien hinzu und alles hebt sich gegenseitig auf. Das Integral wird gleich 0.
Damit das so alles auch einen Sinn macht und richtig ist, betrachten wir den Grenzfall und lassen die Fläche A (d.h. ihren Flächeninhalt) gegen 0 gehen. Dividieren durch |A| ist zur "Skalierung" notwendig, sonst würde der ganze Ausdruck verschwinden.
Dabei Betrachtet man beim Berechnen von rot(F)*n gerade diejenigen Flächen A (und lässt sie gegen 0 gehen), welche den Vektor n als Normale haben.
Mach dir an dieser Stelle nochmal den Charakter eines Grenzwertes klar. Damit er Existiert, muss der Ausdruck für JEDE "Nullfolge" von Flächen den selben Wert ergeben. Wenn er aber existiert ist es egal mit welcher konkreten Folge man arbeitet, das Ergebnis ist ja immer gleich.
rot(F)*n soll im Punkt P berechnet werden :
1. Nullfolge von Flächen A_i um P mit Normale n bestimmen.
2. Rand der Flächen A_i parametrisieren damit das Kurvenintegral für jede Fläche bestimmt werden kann.
3. Durch Flächeninhalt |A_i| dividieren
4. Grenzwert für i->unendlich, d.h. A_i->0 bestimmen.
Dabei ist dieser Typ eines Kurvenintegrals zu berechen mit
∮KF⃗⋅dr⃗=∫abF⃗(x(t),y(t),z(t))⋅(x′(t),y′(t),z′(t))dt\oint_{K} \vec F \cdot \vec {dr} = \int_a^b \vec F(x(t),y(t),z(t)) \cdot ( x'(t), y'(t), z'(t) ) dt∮KF⃗⋅dr⃗=∫abF⃗(x(t),y(t),z(t))⋅(x′(t),y′(t),z′(t))dt
wobei (x(t),y(t),z(t)) eine Parametrisierung der Kurve K ist. Man kann das Kurvenintegral also auf ein gewöhnliches Riemann/Lebesgue-Integral zurückführen.
Beachte: Orientierung von n und Umlaufrichtung wirken sich aufs Vorzeichen aus.
Das ganze ist SEHR Rechenaufwändig und die Existenz muss vorher sichergestellt werden. Deshalb sind die Wiki-Formeln erste Wahl wenn man nicht gerade mittels Übungsblatt dazu verdonnert wurde, es per Definition zu berechnen.
Wenn das Hilfreich war kann ich später nochwas zur Divergenz schreiben.
Gruß, space
